E.3 Una cartera de dos activos: rendimiento, riesgo y diversificación

Oro y soya: ¿combinar o elegir?

Un inversionista imagina repartir USD 10.000 entre oro y soya, dos productos que Bolivia exporta. El oro rindió en promedio 16,5% anual (con 12,9% de desviación) y la soya 4,7% (con 17,5%). Una idea simple sería dejar todo en el oro, que rinde más y oscila menos. Pero hay algo que esa idea no considera: el oro y la soya se mueven casi de manera independiente (correlación 0,14).

¿Puede una mezcla de los dos tener menos riesgo que el oro solo, aunque la soya sea más riesgosa y rinda menos? La respuesta, que sorprende al principio, es que sí, y muestra de dónde sale la diversificación.

(Rendimientos anuales calculados con las variaciones mensuales del FMI, 2020-2026, con la media por 12 y la desviación por √12.)

11,0%

es el riesgo (desviación estándar anual) de la cartera de menor riesgo entre oro y soya (con 67% en oro): menor que el del oro solo (12,9%) y que el de la soya sola (17,5%).

Fuente: FMI (PCPS), precios mensuales en dólares, 2020-2026; cálculo propio.

El rendimiento de una cartera es un promedio ponderado

Con w = proporción invertida en el oro y (1 − w) en la soya, el rendimiento esperado de la cartera es el promedio ponderado de los rendimientos esperados:

Rp = w · R₁ + (1 - w) · R₂                              (rendimiento de la cartera con dos activos)
Rp = 0,60 × 16,47 + 0,40 × 4,72 = 11,77%               (para una cartera de 60% oro y 40% soya)

El rendimiento esperado de una cartera no depende de cómo se muevan los activos entre sí: es el mismo promedio ponderado aunque los activos estén muy correlacionados o no. En palabras de Van Horne y Wachowicz, con cantidades iguales en dos valores, el rendimiento esperado es el promedio simple de ambos.

El riesgo de una cartera NO es un promedio: aparece la covarianza

El riesgo sí depende de cómo se mueven juntos. La varianza de la cartera suma las varianzas de cada activo, ponderadas por el cuadrado de su peso, más un término de covarianza:

σp² = w² σ₁² + (1 - w)² σ₂² + 2 w (1 - w) ρ σ₁ σ₂         (varianza de la cartera de dos activos)
σp² = 0,36 × 165,6 + 0,16 × 305,6 + 2 × 0,60 × 0,40 × 30,7 = 123,3     (con σ₁σ₂ρ = covarianza = 30,7)
σp = √123,3 = 11,10%                                         (riesgo de la cartera 60/40)

El promedio simple de los dos riesgos sería 0,6 × 12,9 + 0,4 × 17,5 = 14,7%. La cartera real tiene un riesgo de 11,1%: 3,6 puntos menos. Esa diferencia es el beneficio de la diversificación, y viene del término de covarianza: como el oro y la soya casi no se mueven juntos, las oscilaciones de uno se compensan en parte con las del otro. Los beneficios de la diversificación aparecen siempre que los activos no tengan una correlación perfecta y positiva.

Peso en oro   Rendimiento   Riesgo (σ)   Promedio simple de riesgos
        0%           4,7%        17,5%                 17,5%
       20%           7,1%        14,6%                 16,6%
       40%           9,4%        12,3%                 15,6%
       60%          11,8%        11,1%                 14,7%
       80%          14,1%        11,3%                 13,8%
      100%          16,5%        12,9%                 12,9%

La cartera con 60% en oro rinde 11,8% (menos que el oro solo) pero con 11,1% de riesgo (menos que cualquiera de los dos).

La cartera de menor riesgo

Entre todas las mezclas hay una de riesgo mínimo. Se encuentra derivando la varianza de la cartera respecto de w e igualando a cero (con cov = ρσ₁σ₂):

σp²(w) = w² σ₁² + (1 - w)² σ₂² + 2 w (1 - w) cov              (varianza de la cartera en función de w)
d σp² / dw = 2 w σ₁² - 2 (1 - w) σ₂² + 2 (1 - 2w) cov = 0    (derivada igualada a cero)
w* = (σ₂² - cov) / (σ₁² + σ₂² - 2 cov)                       (peso de riesgo mínimo)
w* = (305,6 - 30,7) / (165,6 + 305,6 - 2 × 30,7) = 0,671     (con los datos de oro y soya)

La cartera de riesgo mínimo invierte 67,1% en oro y 32,9% en soya, con riesgo de 11,01% y rendimiento de 12,6%. Con oro y plata, la fórmula da w* mayor que 1 (1,19): significa que el riesgo mínimo está en dejar todo en oro, porque agregar plata solo aumenta el riesgo. La cartera 60/40 de oro y plata tendría un riesgo de 18,8%, mayor que el del oro solo (12,9%). Que haya diversificación depende de la correlación: con 0,14 es fuerte y con 0,69 es casi nula.

Preguntas para pensar

• La cartera de oro y soya es una combinación de productos que Bolivia exporta. ¿Qué implica esto para un país que depende de la exportación de unos pocos productos? ¿Qué ventajas tendría diversificar la canasta exportadora?
• La cartera de menor riesgo del ejemplo usa datos de 2020 a 2026. Si las correlaciones cambian en el futuro, ¿qué pasa con esa cartera? ¿Cada cuánto debería revisarse?