C.4 Media, varianza y distribución incondicional de las ventas

El gerente pide "un solo número" y el analista tiene tres escenarios

Para el presupuesto del mes 13, el taller tiene tres lecturas de la demanda: un escenario pesimista (si un competidor entra al mercado: 600 parihuelas), uno base (700) y uno optimista (si una empresa exportadora firma un contrato grande: 780). Les asigna probabilidades de 25%, 50% y 25%. Dentro de cada escenario las ventas todavía varían de un mes a otro, con una desviación de unas 40 unidades.

El gerente pide un solo número. ¿Cuál? Y el banco, que presta contra esas ventas, pide algo más: ¿qué tan probable es que el taller pierda dinero? La respuesta usa dos resúmenes de una distribución, su media y su varianza, y una idea nueva: la distribución incondicional de las ventas, la que resulta de mezclar los tres escenarios.

(Escenarios y probabilidades ilustrativos, definidos sobre el pronóstico del tema C.3.)

695

unidades es la venta esperada del mes 13 al mezclar los tres escenarios, con una desviación estándar de 75 unidades.

Fuente: Cálculo propio sobre escenarios ilustrativos del taller de parihuelas.

La media y la varianza de la distribución de ventas

Cuando hay varios escenarios con probabilidades, la media (valor esperado) es el promedio ponderado por la probabilidad y la varianza mide qué tan dispersos están los resultados alrededor de la media. Con k = escenario, pₖ = su probabilidad y μₖ = sus ventas medias:

E(Q) = Σ pₖ μₖ = 0,25 × 600 + 0,50 × 700 + 0,25 × 780 = 695          (venta esperada)
Var(Q) = Σ pₖ (μₖ - E(Q))² = 4.075                                (variación entre escenarios)

Escenario     Probabilidad   Media (unid.)   p × media   p × (media - 695)²
Pesimista             0,25             600       150,0              2.256,2
Base                  0,50             700       350,0                 12,5
Optimista             0,25             780       195,0              1.806,2
Total                 1,00                         695              4.075,0

La distribución de probabilidad de un resultado incierto se resume con dos parámetros: su media y su desviación estándar; cuando la desviación estándar es alta, también lo es la posibilidad de grandes desilusiones.

La distribución incondicional: entre escenarios y dentro de cada escenario

La varianza anterior (4.075) solo cuenta la dispersión entre escenarios. Pero dentro de cada uno las ventas también varían (desviación de 40, es decir, varianza 1.600). La distribución incondicional es la de las ventas sin saber en qué escenario se está. Su media y su varianza surgen de combinar ambas fuentes de variación (la ley de la varianza total):

E(Q) = Σ pₖ μₖ = 695                                         (la media incondicional es el promedio de las medias)
Var(Q) = Σ pₖ σₖ² + Σ pₖ (μₖ - E(Q))²                              (variación dentro más variación entre escenarios)
Var(Q) = 1.600 + 4.075 = 5.675                              (los dos componentes sumados)
σ(Q) = √5.675 = 75,3                                       (desviación estándar incondicional)
CV = 75,3 / 695 = 10,8%                                (coeficiente de variación: dispersión relativa)

Ignorar cualquiera de los dos componentes subestima el riesgo: con solo la dispersión entre escenarios la desviación sería √4.075 = 63,8; con solo la de dentro, 40; la real es 75,3.

Del volumen a la utilidad y al riesgo de pérdida

La utilidad mensual del taller es una función lineal de las ventas: U = 20·Q − 9.500. Para una función lineal, la media y la desviación se transforman de manera sencilla:

E(U) = 20 × E(Q) - 9.500 = 20 × 695 - 9.500 = 4.400                (utilidad esperada)
σ(U) = 20 × σ(Q) = 20 × 75,3 = 1.507                                (la desviación se multiplica por 20; el término fijo no la afecta)

El taller pierde dinero si Q < 475 (el punto de equilibrio de B.2). Con PL = probabilidad de pérdida, se calcula escenario por escenario y se pondera:

PL = Σ pₖ · P(Q < 475 | k)                                            (probabilidad de pérdida, por escenarios)
PL = 0,25 × P(Z < (475 - 600) / 40) + ...                            (cada término usa la normal estandarizada)
PL ≈ 0,022%                                                   (casi nula: todos los escenarios están por encima del equilibrio)

Si en cambio se tratara la mezcla como una sola normal de media 695 y desviación 75, la probabilidad de pérdida sería 0,17%: unas ocho veces mayor. La mezcla de escenarios tiene colas más livianas que esa aproximación. Y la probabilidad de superar el presupuesto de 650 unidades es 72%. El resumen para el banco: utilidad esperada de Bs 4.400 al mes, con riesgo de pérdida prácticamente nulo mientras el taller conserve sus clientes actuales.

Preguntas para pensar

• ¿Cómo se podrían asignar las probabilidades de los escenarios en un taller real? ¿Qué pasaría con la desviación estándar incondicional si el escenario pesimista se volviera más probable?
• Un banco que presta al taller mira el escenario pesimista, y el dueño mira el esperado. ¿Cómo debería resumir el dueño la distribución de ventas para pedir un préstamo?