C.3 Pronóstico por regresión y comparación de métodos

Pronosticar las ventas del mes 13

Todo el presupuesto del taller (B.1 a B.4, C.1 y C.2) parte de un pronóstico de ventas: "650 parihuelas al mes". ¿De dónde sale ese número? En una empresa con historia, sale de mirar cómo evolucionaron las ventas. El taller registró sus ventas de los últimos 12 meses (cifras ilustrativas): de 520 a 690 parihuelas. Hay una tendencia clara, pero también altibajos. ¿Cuántas parihuelas conviene presupuestar para el mes 13?

Una regresión lineal sobre el tiempo ajusta la recta que mejor resume esa tendencia y permite pronosticar. Pero un pronóstico sin su margen de error es solo una cifra: la regresión también dice cuánto puede equivocarse.

697

parihuelas es el pronóstico de la regresión lineal para el mes 13, con un intervalo de predicción al 95% de más o menos 32 (datos ilustrativos).

Fuente: Ventas mensuales ilustrativas del taller de parihuelas; cálculo propio.

Ajustar la recta paso a paso

El modelo es y = a + b·t, donde y son las unidades vendidas y t el número de mes. Con n = 12 meses se calculan primero las sumas que pide el método de mínimos cuadrados (se vio en Estadística I, sección F):

Σt = 78      Σy = 7225      Σty = 49060      Σt² = 650        (sumas sobre los 12 meses)
b = (nΣty - ΣtΣy) / (nΣt² - (Σt)²)                          (pendiente de la recta)
b = (12 × 49060 - 78 × 7225) / (12 × 650 - 6084) = 14,668      (cada mes las ventas suben en promedio 14,7 unidades)
a = ȳ - b·t̄ = 602,08 - 14,668 × 6,5 = 506,74                  (ordenada: nivel de ventas en el mes 0)

La recta es ŷ = 506,7 + 14,67·t. Su pronóstico para el mes 13 es ŷ₁₃ = 506,7 + 14,67 × 13 = 697,4 unidades.

Mes   Ventas (unidades)   Ajustado (a + b·t)   Error
  1                 520                521,4     −1,4
  2                 545                536,1      8,9
  3                 530                550,7    −20,7
  4                 575                565,4      9,6
  5                 590                580,1      9,9
  6                 585                594,7     −9,7
  7                 610                609,4      0,6
  8                 640                624,1     15,9
  9                 625                638,8    −13,8
 10                 660                653,4      6,6
 11                 655                668,1    −13,1
 12                 690                682,8      7,2

El ajuste es muy bueno: R² = 0,953. La recta explica el 95,3% de la variación de las ventas mensuales; el resto son altibajos de cada mes.

El margen de error del pronóstico

Un pronóstico exacto no existe: el mes 13 va a tener sus propios altibajos. La regresión mide cuánto se alejan normalmente los datos de la recta con el error estándar de la estimación, calculado con la suma de los errores al cuadrado (SCE):

SCE = Σ(y - ŷ)² = 1.507,1                                            (suma de los 12 errores al cuadrado)
s = √(SCE / (n - 2)) = √(1.507,1 / 10) = 12,28                    (error estándar: se pierden 2 grados de libertad)

Con ese error, el intervalo de predicción al 95% (IP, con ME como margen de error) para el mes 13 es ŷ₁₃ ± t · s · √(1 + 1/n + (13 − t̄)²/Σ(t − t̄)²). El factor t con 10 grados de libertad es 2,228 (se verá en Estadística II); el último término agranda el intervalo porque el mes 13 queda fuera del rango de los datos:

ME = 2,228 × 12,28 × √(1 + 1/12 + (13 - 6,5)² / 143) = 32,1     (margen de error del pronóstico)
IP = 697,4 ± 32,1 = [665; 730]                         (con 95% de confianza)

El taller puede presupuestar unas 697 parihuelas, sabiendo que el resultado real estará, con 95% de probabilidad, entre 665 y 730. Un presupuesto de 650 unidades para el mes 13 queda muy por debajo de la tendencia: es un pronóstico prudente.

Comparar el pronóstico de regresión con otros más simples

¿Vale la pena usar una regresión cuando existen atajos? Se puede comparar con dos pronósticos simples para el mes 13: el ingenuo (repetir el último valor: 690) y la media móvil de 3 meses (668,3). Para saber cuál funciona mejor, se hace una prueba con los datos que ya se conocen: se ajusta cada método con los 9 primeros meses y se pronostican los meses 10, 11 y 12, comparando con lo que realmente ocurrió:

Método               Error mes 10   Error mes 11   Error mes 12   Error absoluto medio
Regresión                     7,1          −12,5            7,9                    9,2
Media móvil de 3             35,0           13,3           43,3                   30,6
Ingenuo                      35,0           −5,0           35,0                   25,0

En esta serie con tendencia creciente, la regresión comete el menor error medio (9,2 unidades contra 30,6 de la media móvil y 25,0 del método ingenuo): los dos métodos simples rezagan la tendencia y quedan siempre por debajo. En una serie sin tendencia, en cambio, la media móvil sería igual de buena y más sencilla. La elección depende de la forma de los datos, y se verifica con una prueba de este tipo en vez de suponerla.

Preguntas para pensar

• Las ventas de un taller tienen estacionalidad (más en fin de año). ¿Qué problemas tendría una recta de tendencia para pronosticar diciembre? ¿Cómo se podría corregir?
• Si el taller usa el límite superior del intervalo de predicción para presupuestar sus compras, ¿qué riesgo evita y qué costo asume? ¿Y si usa el límite inferior?