Equilibrio del productor: maximización y minimización

La misma pregunta, planteada al revés

El ejercicio de C.2 se planteó como "minimizar el costo para producir Q ≈ 13,4". Pero una cooperativa minera o una empresa mecanizada rara vez fijan primero la producción y después buscan el costo mínimo: es igual de común que fijen un presupuesto disponible (lo que tienen para gastar en trabajo y capital) y busquen la combinación que maximiza lo que pueden producir con ese presupuesto.

¿Son problemas distintos, que requieren herramientas distintas? ¿O son, en el fondo, la misma pregunta mirada desde dos ángulos?

Dos problemas, un mismo punto: la dualidad

Minimizar el costo dado un nivel de producción y maximizar la producción dado un costo son problemas duales: llevan exactamente al mismo punto de tangencia entre la isocuanta y la recta de isocosto, con la misma condición TMST = w/r, siempre que el nivel de producción elegido en un problema coincida con el que resulta óptimo en el otro.

En el ejercicio de C.2, el punto (30, 6) minimizaba el costo para producir Q ≈ 13,4 con un costo de 60. Si en cambio hubieras planteado "¿qué combinación maximiza la producción con un presupuesto de exactamente 60?", el resultado habría sido el mismo punto (30, 6), porque cualquier otro punto sobre esa misma recta de isocosto cae en una isocuanta más baja, y cualquier isocuanta más alta que Q ≈ 13,4 queda fuera del alcance de ese presupuesto. Es la misma lógica exacta que ya viste en B.2 y B.3 para el consumidor: maximizar utilidad dado un presupuesto y minimizar el gasto dado un nivel de utilidad llevan al mismo punto de tangencia.

El sendero de expansión

Si una empresa aumenta su presupuesto (más recta de isocosto, más hacia afuera) sin que cambien los precios relativos de los factores (w/r constante), los sucesivos puntos óptimos van a trazar una trayectoria llamada sendero de expansión. Para una función de producción Cobb-Douglas, ese sendero es una línea recta que pasa por el origen: la razón óptima L*/K* no depende del tamaño del presupuesto, solo de los precios relativos de los factores.

En el ejemplo de C.2 (Q = √(LK), w = 1, r = 5), la razón óptima fue L*/K* = 30/6 = 5. Si el presupuesto se duplicara a 120 en vez de 60, con los mismos precios de los factores, el nuevo óptimo sería (60, 12): el doble en cada factor, con la misma razón 5. Una cooperativa minera que crece manteniendo los mismos precios relativos de trabajo y capital no cambia la 'forma' de su combinación de factores, solo su escala.

Rendimientos a escala: qué pasa cuando se duplican todos los factores

Los rendimientos a escala responden una pregunta distinta a la de los rendimientos marginales decrecientes de C.1: ¿qué pasa con la producción si se duplican todos los factores a la vez, no solo uno?

- Rendimientos constantes a escala: duplicar todos los factores duplica exactamente la producción.
- Rendimientos crecientes a escala: duplicar todos los factores más que duplica la producción, típico de procesos donde hay economías de escala (maquinaria especializada que se aprovecha mejor a mayor tamaño, infraestructura que se reparte entre más producción).
- Rendimientos decrecientes a escala: duplicar todos los factores produce menos del doble, típico cuando la coordinación de una operación más grande se vuelve más difícil.

Para una función Cobb-Douglas Q = Lᵅ·Kᵝ, el tipo de rendimiento a escala se lee directamente de la suma de los exponentes: α + β = 1 es constante, α + β > 1 es creciente, α + β < 1 es decreciente. La función Q = √(LK) = L^0,5·K^0,5 de C.2 tiene α + β = 1: rendimientos constantes a escala.

Preguntas para pensar

• ¿Te parece más plausible que la gran minería mecanizada boliviana tenga rendimientos crecientes, constantes o decrecientes a escala, comparada con una cooperativa minera pequeña? ¿Por qué?
• Si una cooperativa minera quisiera aprovechar rendimientos crecientes a escala, ¿qué obstáculos reales (más allá del modelo) le impedirían simplemente 'duplicar todos los factores'?
• El sendero de expansión de una Cobb-Douglas es una línea recta porque la razón L*/K* no depende del tamaño del presupuesto. ¿Te parece un supuesto realista para una empresa real, o esperarías que la razón óptima de factores cambie a medida que la empresa crece? ¿Por qué?