B.6 Anualidad anticipada y decisión entre alternativas de pago

Un puesto en la feria, pagado por adelantado

La textilera de El Alto (la misma de B.1) decide alquilar un puesto fijo en una feria para exhibir sus prendas durante todo el año: Bs 800 al mes, durante 12 meses, a la misma tasa de oportunidad de 0,5% mensual que usó para su plan de ahorro. La diferencia es el contrato: el alquiler se paga por adelantado, al inicio de cada mes, no al final como su ahorro de B.1.

El propietario del puesto le hace además una segunda oferta: en vez de pagar mes a mes, puede cancelar todo el año de una sola vez, hoy mismo, por Bs 9.200. ¿Le conviene pagar mes a mes o de una sola vez?

Anualidad anticipada: cuando el pago se hace al inicio del período

En B.1 cada pago de la anualidad ordinaria se hacía al final de su período: el primer pago capitalizaba (n−1) períodos hasta el final, el último no capitalizaba nada. En una anualidad anticipada (o "debida"), cada pago se adelanta un período completo: el primer pago se hace en el momento 0, no al final del mes 1, así que le queda un período más para capitalizar (o uno más para no ser descontado, en el caso del valor presente).

Para abreviar, VFₒ y VPₒ denotan el valor futuro y presente de la anualidad ordinaria (los ya derivados en B.1), y VFₐ y VPₐ los de la anualidad anticipada. Esto tiene una consecuencia exacta: cada uno de los n pagos de la anualidad anticipada gana un período adicional de interés frente al pago equivalente de la ordinaria. Multiplicar el resultado completo de la fórmula ordinaria por (1+i) traslada los n pagos, todos a la vez, ese período adicional:

VFₒ = C · [(1+i)ⁿ - 1] / i                    (fórmula ya derivada en B.1)
VFₐ = VFₒ · (1+i)                             (cada pago capitaliza un período más, por adelantarse)

VPₒ = C · [1 - (1+i)⁻ⁿ] / i                    (fórmula ya derivada en B.1)
VPₐ = VPₒ · (1+i)                             (cada pago se descuenta un período menos, por adelantarse)

El factor (1+i) es el mismo en ambos casos porque el desplazamiento es el mismo: un período completo, para los n pagos a la vez. No hace falta rehacer toda la suma geométrica del principio, alcanza con multiplicar el resultado ya conocido de la anualidad ordinaria.

Aplicando la anualidad anticipada al alquiler del puesto

Con C = Bs 800, i = 0,5% mensual, n = 12 meses, ya se conocen de B.1 los valores de la anualidad ordinaria: VFₒ ≈ Bs 9.868,45 y VPₒ ≈ Bs 9.295,15. Para la anualidad anticipada del alquiler:

VFₐ = 9.868,45 × (1,005) ≈ 9.917,79     (el valor futuro sube: cada pago capitalizó un período más)
VPₐ = 9.295,15 × (1,005) ≈ 9.341,62     (el valor presente también sube: cada pago se descontó un período menos)

Tiene sentido que ambos valores suban, y no bajen: adelantar un pago (recibirlo o entregarlo antes) nunca reduce su valor, en el peor caso lo deja igual. El propietario del puesto, al exigir el pago al inicio del mes en vez de al final, está en los hechos cobrando un poco más en términos de valor del dinero en el tiempo: Bs 9.341,62 hoy en vez de Bs 9.295,15.

Comparar dos formas de pagar lo mismo: llevarlas al mismo punto en el tiempo

La segunda oferta del propietario (Bs 9.200 de una sola vez, hoy) y las 12 cuotas anticipadas de Bs 800 no se pueden comparar tal como están: una es un solo monto hoy, la otra es una serie de doce montos futuros. Para decidir cuál conviene, ambas alternativas se llevan al mismo punto en el tiempo con la misma tasa de descuento, y ese punto natural es hoy (valor presente), porque la decisión se toma hoy:

Alternativa 1 (pago único): 9.200,00     (ya expresado en el momento 0, no hace falta descontar nada)
Alternativa 2 (12 cuotas): VPₐ ≈ 9.341,62     (ya calculado arriba)

Como quien alquila es quien paga, la alternativa preferible es la que representa menor costo hoy: Bs 9.200,00 < Bs 9.341,62, así que el pago único de Bs 9.200 conviene más a la textilera que las 12 cuotas anticipadas, por una diferencia de Bs 141,62. El mismo criterio (traer todo al valor presente y comparar) sirve sin importar cuántas alternativas se comparen o qué forma tenga cada una: montos únicos, anualidades, o flujos variables como los de B.2.

Preguntas para pensar

• ¿Se te ocurre otro contrato común en Bolivia (alquiler de vivienda, cuotas de un colegio, un seguro) donde el pago se exija por adelantado en vez de al final del período? ¿Qué efecto tiene eso sobre quien paga, en términos de valor del dinero en el tiempo?
• Si el propietario del puesto subiera su oferta de pago único a Bs 9.400, ¿cambiaría la decisión de la textilera? ¿Por qué?