B.5 Amortización de préstamos y tasa o plazo desconocidos

El mismo problema, visto al revés

En B.1, la textilera ahorraba Bs 800 al final de cada mes durante 12 meses, a una tasa de 0,5% mensual, y esperaba pacientemente para juntar el dinero de la overlock. Ese plan tiene un equivalente en préstamo: si en vez de esperar, un banco le presta hoy mismo el valor presente de esos 12 ahorros (ya calculado en B.1: Bs 9.295,15), a la misma tasa de 0,5% mensual, ¿cuánto tendría que pagar cada mes para devolver ese préstamo en 12 cuotas iguales? ¿Y cómo se reparte cada pago entre el interés que se debe y el capital que se va cancelando?

Amortizar un préstamo: la misma ecuación de anualidad, resuelta al revés

La amortización de un préstamo consiste en determinar los pagos iguales y periódicos (C) necesarios para reembolsar por completo un préstamo (VP) en un plazo determinado (n), a una tasa de interés dada (i). Ya se conoce la fórmula que conecta estas cuatro variables: es la misma fórmula de valor presente de una anualidad ordinaria derivada en B.1, VP = C·[1−(1+i)⁻ⁿ]/i, solo que ahí se conocía C y se buscaba VP, y ahora se conoce VP (el préstamo) y se busca C (la cuota).

VP = C · [1 - (1+i)^(-n)] / i                          (fórmula de VP de anualidad, ya derivada en B.1)
VP · i = C · [1 - (1+i)^(-n)]                           (multiplicando ambos lados por i)
C = VP · i / [1 - (1+i)^(-n)]                           (despejando C: fórmula de la cuota de amortización)

Con VP = Bs 9.295,15, i = 0,005 y n = 12: C = 9.295,15 × 0,005 / [1−(1,005)⁻¹²] ≈ Bs 800,00, exactamente el mismo pago mensual que la textilera ya había planeado ahorrar en B.1. No es casualidad: pedir prestado el valor presente de una anualidad y amortizarlo a la misma tasa reproduce, en sentido inverso, la misma anualidad original.

El programa de amortización mes a mes

En cada pago, primero se paga el interés que generó el saldo pendiente de ese mes, y el resto se aplica a reducir el capital (principal). Como el saldo pendiente baja mes a mes, el interés de cada pago también baja, y la porción destinada a capital sube, aunque la cuota total (Bs 800) se mantenga igual todo el préstamo:

Saldo inicial mes 1: Bs 9.295,15                        (el préstamo completo, recién desembolsado)
Interés mes 1: 9.295,15 × 0,005 = Bs 46,48               (tasa del 0,5% mensual sobre el saldo pendiente)
Capital mes 1: 800,00 - 46,48 = Bs 753,52                (el resto de la cuota, después de cubrir el interés)
Saldo final mes 1: 9.295,15 - 753,52 = Bs 8.541,63       (el saldo con el que arranca el mes 2)

La tabla completa, calculada con el mismo procedimiento en cada uno de los 12 meses:

Mes   Saldo inicial   Cuota    Interés   Capital   Saldo final
1        9.295,15    800,00     46,48     753,52      8.541,63
2        8.541,63    800,00     42,71     757,29      7.784,34
3        7.784,34    800,00     38,92     761,08      7.023,26
4        7.023,26    800,00     35,12     764,88      6.258,38
5        6.258,38    800,00     31,29     768,71      5.489,67
6        5.489,67    800,00     27,45     772,55      4.717,12
7        4.717,12    800,00     23,59     776,41      3.940,71
8        3.940,71    800,00     19,70     780,30      3.160,41
9        3.160,41    800,00     15,80     784,20      2.376,21
10       2.376,21    800,00     11,88     788,12      1.588,09
11       1.588,09    800,00      7,94     792,06        796,03
12         796,03    800,00      3,98     796,02          0,01

El saldo no llega a exactamente cero en el mes 12 por el mismo motivo que señala la Tabla 5.6 de Gitman para su propio ejemplo de amortización: el redondeo a centavos en cada paso deja una diferencia mínima (Bs 0,01 en este caso), que en la práctica se ajusta en el último pago.

Tasa de interés desconocida: cuando se conoce el resultado, no la tasa

A veces la pregunta es la inversa: se conoce cuánto creció una inversión y en cuánto tiempo, pero no la tasa de interés que ganó. La misma fórmula de valor futuro de un capital único de B.1, despejada para i:

VF = VP · (1+i)^n                                       (fórmula de valor futuro, B.1)
VF / VP = (1+i)^n                                        (despejando el factor de capitalización)
(VF/VP)^(1/n) = 1+i                                      (elevando ambos lados a la 1/n, para deshacer el exponente n)
i = (VF/VP)^(1/n) - 1                                    (despejando i)

Si la textilera invirtió Bs 5.000 hace 3 años y hoy esa inversión vale Bs 5.800, la tasa anual compuesta que ganó es: i = (5.800/5.000)^(1/3) − 1 ≈ 5,07% anual.

Plazo desconocido: cuando se conoce la tasa, no el tiempo

El caso simétrico: se conoce la tasa de interés y se quiere saber cuánto tiempo toma alcanzar un monto futuro determinado. Despejando n de la misma fórmula de valor futuro, esta vez usando logaritmos para bajar el exponente:

VF = VP · (1+i)^n                                       (fórmula de valor futuro, otra vez)
ln(VF) = ln(VP) + n · ln(1+i)                            (aplicando logaritmo natural a ambos lados)
n = [ln(VF) - ln(VP)] / ln(1+i)                          (despejando n)
n = ln(VF/VP) / ln(1+i)                                  (forma equivalente, agrupando el logaritmo)

Si la textilera quisiera saber cuántos años le toma duplicar un capital de Bs 5.000 (llegar a Bs 10.000) a una tasa de 8% anual compuesta: n = ln(10.000/5.000) / ln(1,08) = ln(2) / ln(1,08) ≈ 9,01 años.

Preguntas para pensar

• Si la textilera pudiera elegir entre ahorrar 12 meses (B.1) y comprar la máquina al final, o pedir el préstamo y tener la máquina funcionando desde ya, ¿qué información adicional necesitaría para decidir cuál le conviene más?
• ¿Se te ocurre alguna situación cotidiana en Bolivia donde alguien necesitaría calcular una tasa de interés desconocida (por ejemplo, comparando dos ofertas de préstamo que solo dan el monto y la cuota, sin decir la tasa)?