B.4 Rentas vitalicias, temporarias e incertidumbre

Un contrato que empieza más adelante, y una renta que no termina

Con la overlock ya funcionando (A.1), la textilera negocia un contrato con una tienda que le pagará Bs 600 al mes durante 24 meses, pero recién va a empezar a recibir esos pagos dentro de 6 meses, mientras la tienda organiza su primer pedido grande. ¿Cuánto vale hoy ese contrato, si el dinero que todavía no llega también tiene que descontarse por la espera?

Y, en un escenario hipotético, si la mejora de productividad de la máquina generara Bs 100 adicionales cada mes para siempre (sin fecha de fin), ¿cuánto valdría hoy esa renta que nunca termina?

Vocabulario: temporaria, diferida ('interceptada') y perpetua

Las anualidades de B.1-B.2 son rentas temporarias: tienen un número finito de pagos n, y el primero se recibe al final del primer período. Dos variaciones importantes:

- Renta diferida (llamada también "interceptada" en algunos textos): los pagos no empiezan en el período 1, sino después de un período de espera k. El contrato con la tienda es un ejemplo: 24 pagos, pero recién empiezan en el mes 7.
- Renta perpetua: una renta temporaria donde el número de pagos n crece sin límite: nunca termina.

Renta perpetua: el límite de la anualidad cuando n→∞

La fórmula de valor presente de una anualidad ordinaria (B.1) es VP = C·[1−(1+i)⁻ⁿ]/i. Para ver qué pasa cuando n crece sin límite, basta analizar qué le ocurre al término (1+i)⁻ⁿ:

VP = C · [1 - (1+i)^(-n)] / i                        (fórmula de anualidad ordinaria, B.1)
(1+i)^(-n) = 1 / (1+i)^n                              (reescribiendo el exponente negativo)
Cuando n→∞:  (1+i)^n → ∞                              (porque i > 0, el denominador crece sin límite)
Por lo tanto:  (1+i)^(-n) → 0                         (cuando n→∞, una fracción con denominador que crece sin límite tiende a cero)
VP → C · [1 - 0] / i = C / i                          (sustituyendo el límite: fórmula de la renta perpetua)

Con C = Bs 100 mensuales e i = 0,5% mensual, una renta perpetua hipotética valdría VP = 100/0,005 = Bs 20.000 hoy, una suma finita, aunque la renta nunca termine, porque cada pago futuro se descuenta cada vez más fuerte cuanto más lejos está.

Renta diferida: descontar dos veces

Una renta diferida se resuelve en dos pasos, aplicando dos veces la misma lógica de descuento ya conocida:

Paso 1: VP de la anualidad, ubicado en el momento k (el instante justo antes de que empiecen los pagos):
VP(en k) = C · [1 - (1+i)^(-n)] / i                  (misma fórmula de B.1, pero su resultado queda "parado" en el momento k, no en hoy)

Paso 2: descontar ese VP(en k) los k períodos que faltan hasta hoy:
VP(hoy) = VP(en k) / (1+i)^k                          (aplicando el factor de descuento de un capital único, igual que en B.1)

Con el contrato de la tienda (C = Bs 600, n = 24 pagos, k = 6 meses de espera, i = 0,5% mensual): VP(en k=6) = 600·[1−(1,005)⁻²⁴]/0,005 ≈ Bs 13.537,72. Descontando esos 6 meses de espera: VP(hoy) = 13.537,72 / (1,005)⁶ ≈ Bs 13.138,60. Ese contrato vale menos hoy que si los pagos empezaran de inmediato, exactamente por los 6 meses que hay que esperar antes de recibir el primero.

Rentas vitalicias y la incertidumbre: el caso de las pensiones

Todo lo anterior asume que el número de pagos n (o el hecho de que nunca terminen, en la perpetuidad) es seguro. Una renta vitalicia rompe ese supuesto: es una renta cuyos pagos dependen de que una persona siga viva, el ejemplo más real es una pensión de jubilación. Nadie sabe con certeza cuántos pagos va a recibir un jubilado, así que el cálculo ya no puede usar un n fijo: tiene que ponderar cada pago futuro por la probabilidad de que la persona siga viva ese año, usando tablas actuariales de mortalidad construidas con datos demográficos reales.

Este es exactamente el problema que resuelven las Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP) en Bolivia al calcular cuánto puede pagar de pensión mensual un fondo acumulado, un cálculo de valor presente/futuro igual al de esta sección, pero con probabilidades de supervivencia en vez de certeza. Calcular esas probabilidades con precisión exige tablas de mortalidad actuariales completas, fuera del alcance de esta introducción; lo importante acá es entender qué cambia conceptualmente: la incertidumbre sobre cuántos pagos habrá convierte un cálculo determinístico en uno que pondera cada escenario futuro por su probabilidad.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que el sistema de pensiones boliviano (AFP) necesita actuarios y tablas de mortalidad, y no puede simplemente usar la fórmula de anualidad ordinaria de B.1?
• Si tuvieras que negociar un contrato diferido (pagos que empiezan más adelante) con un cliente, ¿por qué te convendría, como vendedor, que el período de espera k fuera lo más corto posible, a igualdad de todo lo demás?