B.3 Capitalización continua: de la fórmula discreta a e^(in)

Capitalizar cada vez más seguido

En B.1, el ahorro de la textilera capitalizaba una vez al mes (0,5% mensual). ¿Qué pasaría si el banco capitalizara el interés diariamente en vez de mensualmente? ¿Y si capitalizara cada hora? ¿Cada segundo? A medida que el número de capitalizaciones por año crece sin límite, ¿el valor futuro también crece sin límite, o se acerca a un número concreto?

De m capitalizaciones por año al límite continuo

Si una tasa nominal anual i se capitaliza m veces al año (cada capitalización a una tasa i/m), durante n años, el valor futuro de un capital VP es:

VF = VP(1 + i/m)^(mn)                              (capitalización m veces por año, durante n años)

Con m = 1 (una capitalización por año) la fórmula coincide con la de B.1, VF = VP(1+i)ⁿ. Con m = 12 y n años, i/12 es la tasa de cada mes y mn el número de meses: el ahorro mensual de B.1 es el caso en que ya se conoce la tasa por período (0,5% mensual).

Para ver qué pasa cuando m crece sin límite (capitalización continua), conviene reescribir el exponente con una sustitución x = m/i (de modo que m = ix):

VF = VP(1 + i/m)^(mn)
VF = VP(1 + 1/x)^(ixn)                             (sustituyendo m/i = x, es decir i/m = 1/x, y m = ix)
VF = VP · [(1 + 1/x)^x]^(in)                        (reagrupando el exponente: ixn = x·(in))

Cuando m→∞ (capitalización cada vez más frecuente), x = m/i también tiende a infinito. Y (1+1/x)^x cuando x→∞ es exactamente la definición del número e (≈2,71828...), uno de los límites más conocidos del cálculo:

lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e                            (definición del número e)
VF = VP · [(1+1/x)^x]^(in) → VP · e^(in)             (sustituyendo el límite: fórmula de capitalización continua)

La capitalización continua no es un caso exótico separado del interés compuesto: es el mismo interés compuesto llevado al límite de capitalizaciones infinitamente frecuentes.

Tasas equivalentes: pasar de una tasa discreta a su equivalente continua

Dos tasas son equivalentes si producen el mismo valor futuro sobre el mismo capital y el mismo tiempo. Para compararlas conviene llevarlas a una tasa común: la tasa efectiva anual (ie), que es lo que realmente crece un capital en un año.

Con capitalización m veces al año, a una tasa nominal anual i, el factor de crecimiento de un año es (1 + i/m)^m, de modo que:

ie = (1 + i/m)^m − 1                                (tasa efectiva anual de una tasa nominal i capitalizada m veces al año)

Para que una tasa continua ic produzca el mismo resultado que esa tasa efectiva anual, sus factores de crecimiento de un año deben ser iguales:

e^(ic) = 1 + ie                                     (mismo crecimiento en un año: factor continuo = factor discreto)
ic = ln(1 + ie)                                     (despejando ic: logaritmo natural de ambos lados)

Aplicado al ahorro mensual de B.1 (0,5% mensual, es decir i = 6% nominal anual capitalizado m = 12 veces al año): la tasa efectiva anual es ie = (1,005)¹² − 1 ≈ 6,1678%, y la tasa continua equivalente es ic = ln(1,061678) ≈ 5,985% anual. Son la misma tasa, expresada de formas distintas: una capitaliza en 12 pasos discretos al año, la otra de forma ininterrumpida, pero ambas producen exactamente el mismo valor futuro.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que, en la práctica bancaria boliviana, casi nadie usa capitalización continua para depósitos de ahorro, aunque matemáticamente sea válida?
• ¿En qué áreas de las finanzas (más allá de depósitos bancarios) te imaginas que la capitalización continua sea el modelo más natural, en vez de una simplificación teórica?