B.2 Valor presente y futuro de flujos variables

Pedidos de exportación que crecen cada año

La textilera de El Alto proyecta pedidos de exportación desiguales para los próximos tres años, a medida que gana clientela: Bs 3.000 adicionales el primer año, Bs 5.000 el segundo, Bs 7.000 el tercero. A una tasa de descuento del 8% anual, ¿cuánto vale hoy esa corriente de ingresos futuros? La fórmula de anualidad de B.1 asumía pagos iguales, aquí cada año trae un monto distinto.

Cuando los pagos no son iguales, no hay atajo: se descuenta cada uno por separado

La fórmula cerrada de anualidad de B.1, VP = C·[1−(1+i)⁻ⁿ]/i, depende de que los n pagos sean exactamente el mismo monto C: por eso se pudo factorizar C fuera de la suma geométrica. Si los pagos son distintos, ya no hay una C común que factorizar, así que no existe un atajo algebraico equivalente. La solución vuelve al principio más básico del valor del dinero en el tiempo: cada flujo de caja se descuenta individualmente, según cuántos períodos falten para recibirlo, y después se suman los valores presentes:

VP = CF₁/(1+i)¹ + CF₂/(1+i)² + CF₃/(1+i)³ + ... + CFₙ/(1+i)ⁿ     (suma de cada flujo descontado por su propio número de períodos)

Esta fórmula es en realidad más general que la de la anualidad: la de la anualidad es el caso particular donde todos los CFₜ son iguales a C, y por eso se puede simplificar. Cuando los flujos varían, se vuelve al caso general: sumar valores presentes individuales, uno por uno.

Aplicando la fórmula a los pedidos de exportación

Con i = 8% anual y los tres flujos del problema (Bs 3.000, 5.000 y 7.000), cada uno se descuenta por su propio número de años:

VP(año 1) = 3.000 / (1,08)¹ = 3.000 / 1,08 ≈ 2.777,78
VP(año 2) = 5.000 / (1,08)² = 5.000 / 1,1664 ≈ 4.286,69
VP(año 3) = 7.000 / (1,08)³ = 7.000 / 1,259712 ≈ 5.556,83

Sumando los tres valores presentes: VP total ≈ 2.777,78 + 4.286,69 + 5.556,83 ≈ Bs 12.621,30. Esa suma es cuánto vale hoy, en un solo pago, recibir esos tres pedidos de exportación futuros, el mismo principio que en B.1, aplicado flujo por flujo en vez de con la fórmula compacta de anualidad.

Preguntas para pensar

• ¿Se te ocurre un negocio boliviano real (agrícola, turístico, de exportación) donde los ingresos futuros sean naturalmente desiguales de un año a otro, y no una anualidad constante?
• Si tuvieras que estimar el valor presente de un negocio que vas a heredar en unos años, ¿por qué sería un error asumir que sus ganancias futuras van a ser todas iguales?