B.1 Valor presente y futuro: capital único y anualidades constantes

Ahorrar para una máquina de costura

Retomando a la textilera de A.1: en vez de reinvertir toda la utilidad de golpe, la dueña decide ahorrar Bs 800 al final de cada mes, en una cuenta que paga 0,5% mensual, durante 12 meses, para juntar el dinero de la overlock.

Dos preguntas muy distintas: ¿cuánto va a tener acumulado al cabo de los 12 meses (valor futuro)? Y si en cambio alguien le ofreciera hoy, de una sola vez, una suma equivalente a esos 12 pagos futuros, ¿cuánto sería esa suma (valor presente)? Responder ambas exige la misma herramienta: el valor del dinero en el tiempo.

Por qué el tiempo cambia el valor del dinero

Un boliviano disponible hoy vale más que un boliviano prometido dentro de un año por dos razones independientes: puede invertirse y generar interés durante ese año, y está sujeto a menos incertidumbre que una promesa futura (el pago de mañana puede no llegar). La primera razón, el costo de oportunidad de no tener el dinero disponible ahora, es la que formaliza el valor del dinero en el tiempo con una tasa de interés i.

Si Bs 100 de hoy, invertidos a una tasa i por período, se convierten en Bs 100(1+i) al final del período, entonces Bs 100(1+i) dentro de un período equivalen a Bs 100 de hoy: son la misma cantidad de valor, medida en dos momentos distintos.

Valor futuro y valor presente de un capital único

Si un capital VP se invierte a una tasa i por período, capitalizando (generando interés sobre interés) durante n períodos, su valor futuro se construye paso a paso:

VF₁ = VP(1+i)                          (después de 1 período: capital más su interés)
VF₂ = VF₁(1+i) = VP(1+i)(1+i) = VP(1+i)²   (el período 2 capitaliza sobre VF₁, no sobre VP)
VF₃ = VF₂(1+i) = VP(1+i)³              (mismo patrón, un período más)
...
VFₙ = VP(1+i)ⁿ                          (fórmula general: valor futuro de un capital único)

Despejando VP de esa misma fórmula se obtiene el valor presente: cuánto vale hoy una suma VF que se va a recibir dentro de n períodos:

VF = VP(1+i)ⁿ                          (fórmula de valor futuro, ya derivada)
VP = VF / (1+i)ⁿ                       (despejando VP: dividiendo ambos lados entre (1+i)ⁿ)
VP = VF · (1+i)^(-n)                   (forma equivalente, exponente negativo)

A (1+i)⁻ⁿ se lo llama factor de descuento: multiplica un valor futuro para traerlo a su equivalente de hoy.

Valor futuro de una anualidad ordinaria: la suma de varios pagos

Una anualidad es una serie de pagos iguales (C) a intervalos regulares. Es ordinaria cuando cada pago se hace al *final* de cada período (como el ahorro mensual del problema inicial). El valor futuro de una anualidad ordinaria de n pagos es la suma de cada pago capitalizado desde el momento en que se hizo hasta el final del período n: el primer pago capitaliza (n−1) períodos, el último no capitaliza nada porque se hace justo al final:

VF = C(1+i)^(n-1) + C(1+i)^(n-2) + ... + C(1+i)¹ + C(1+i)⁰    (suma de los n pagos, cada uno capitalizado hasta n)

Esa suma tiene n términos y no es práctico sumarlos uno por uno para valores grandes de n. Se puede colapsar en una fórmula cerrada con un truco clásico para sumas geométricas: multiplicar toda la suma por (1+i) y restarla de sí misma:

VF = C + C(1+i) + C(1+i)² + ... + C(1+i)^(n-1)          (la misma suma, escrita del último término al primero)
VF(1+i) = C(1+i) + C(1+i)² + ... + C(1+i)ⁿ              (multiplicando toda la ecuación por (1+i))
VF(1+i) - VF = C(1+i)ⁿ - C                              (restando la primera ecuación de la segunda: todos los términos intermedios se cancelan)
VF·i = C[(1+i)ⁿ - 1]                                    (el lado izquierdo se simplifica a VF·i; factorizando C en el derecho)
VF = C · [(1+i)ⁿ - 1] / i                               (despejando VF: fórmula del valor futuro de una anualidad ordinaria)

Valor presente de una anualidad ordinaria

El valor presente de la misma anualidad se obtiene descontando ese valor futuro n períodos hacia el presente, con el factor de descuento ya derivado arriba:

VP = VF / (1+i)ⁿ                                        (descontando el VF de la anualidad n períodos)
VP = C · [(1+i)ⁿ - 1] / i / (1+i)ⁿ                      (sustituyendo la fórmula de VF)
VP = C · [1 - (1+i)^(-n)] / i                           (simplificando: dividiendo cada término del numerador entre (1+i)ⁿ)

Esta es la fórmula que responde la segunda pregunta del problema inicial: cuánto vale *hoy* una promesa de pagos futuros.

Preguntas para pensar

• Si la tasa de interés fuera más alta, ¿el valor presente de una anualidad futura sube o baja? ¿Por qué tiene sentido esa dirección?
• ¿Se te ocurre una situación cotidiana en Bolivia (un préstamo, un plan de ahorro, una venta a crédito) donde alguien esté usando, consciente o inconscientemente, la lógica de valor presente/futuro?