F.5 Coeficiente de correlación y de determinación

Una recta ajustada, pero ¿qué tan bien ajusta?

F.2 encontró la recta que mejor ajusta a la nube de puntos de ventas de hidrocarburos e ingresos tributarios, según el criterio de mínimos cuadrados. Pero "la mejor entre las posibles" no dice nada sobre qué tan buena es esa recta en un sentido absoluto: si los puntos estuvieran perfectamente alineados, cualquier recta ajustada explicaría el 100% del comportamiento de Y; si los puntos estuvieran dispersos al azar, ninguna recta explicaría casi nada, aunque técnicamente sea "la mejor" según mínimos cuadrados. Hace falta una medida que diga, con precisión, qué proporción de la variación de Y queda explicada por el modelo.

El método de las varianzas: descomponiendo la variación total

La variación total de Y alrededor de su media puede descomponerse exactamente en dos partes: la parte que el modelo explica (porque sigue el patrón de la recta) y la parte que queda como error sin explicar (los residuos):

SCT = Σ(yᵢ - ȳ)²                                     (suma de cuadrados TOTAL)
SCE = Σ(ŷᵢ - ȳ)²                                     (suma de cuadrados EXPLICADA por el modelo)
SCR = Σ(yᵢ - ŷᵢ)²                                    (suma de cuadrados RESIDUAL, sin explicar)

SCT = SCE + SCR                                      (identidad exacta, siempre se cumple)

Con los datos de F.1-F.2 (35 observaciones de ventas de hidrocarburos e ingresos tributarios):

SCT ≈ 11.962.009.390
SCE ≈ 10.097.623.443
SCR ≈ 1.864.385.947

SCE + SCR = 10.097.623.443 + 1.864.385.947 = 11.962.009.390 = SCT ✓

La comprobación SCE+SCR=SCT (la llamada varianza explicada más la varianza residual, ambas expresadas aquí como sumas de cuadrados) no es una coincidencia: es una identidad algebraica que se cumple siempre, para cualquier ajuste de mínimos cuadrados.

El coeficiente de determinación (R²)

El coeficiente de determinación (R²) es la proporción de la variación total de Y que el modelo logra explicar:

R² = SCE / SCT = 10.097.623.443 / 11.962.009.390 ≈ 0,8441

Un R²=0,8441 significa que el 84,41% de la variación de los ingresos tributarios totales, entre 1990 y 2024, queda explicada por su relación lineal con las ventas de hidrocarburos de YPFB: el 15,59% restante se debe a otros factores no incluidos en este modelo simple (como la tendencia temporal ya vista en F.4, u otras fuentes de recaudación). R² siempre toma valores entre 0 (el modelo no explica nada de la variación de Y) y 1 (el modelo explica toda la variación, ajuste perfecto).

El coeficiente de correlación (r)

El coeficiente de correlación (r) mide la fuerza y dirección de la relación LINEAL entre dos variables, con valores entre -1 y +1:

r = Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ) / √[Σ(xᵢ-x̄)² · Σ(yᵢ-ȳ)²]           (coeficiente de correlación de Pearson)
r ≈ 0,9188                                            (con los datos de F.1-F.2)

Su signo indica la dirección (positivo: relación directa, como en este caso; negativo: relación inversa), y su magnitud indica la fuerza (más cerca de ±1, relación lineal más fuerte; cerca de 0, relación lineal débil o inexistente). La relación entre r y R² para una regresión lineal simple es directa: R² = r², en este ejemplo, 0,9188² ≈ 0,8441, exactamente el R² ya calculado con el método de las varianzas. Esta coincidencia no es casualidad: para el caso de una sola variable explicativa, ambos coeficientes miden, en el fondo, la misma fuerza de asociación lineal, solo que r conserva el signo de la relación y R² no.

Para calificar con palabras la fuerza de la relación, una escala orientativa de uso común (convención, no regla) para |r| y para R² es:

|r|                        Lectura        R²                         Lectura
menos de 0,20              muy débil      menos de 0,01              insignificante
0,20 a menos de 0,40       débil          0,01 a menos de 0,06       pequeña
0,40 a menos de 0,60       moderada       0,06 a menos de 0,14       mediana
0,60 a menos de 0,80       fuerte         0,14 o más                 grande
0,80 o más                 muy fuerte

En este ejemplo r = 0,9188 es una relación muy fuerte y R² = 0,8441, un ajuste grande.

Preguntas para pensar

• Cierra la Sección F: si tuvieras que explicarle a alguien sin formación estadística qué significa 'R²=0,84' en el contexto de ventas de hidrocarburos e ingresos tributarios, sin usar la palabra 'varianza' ni 'suma de cuadrados', ¿cómo lo dirías?
• F.4 mostró que agregar la tendencia temporal subió el R² de 0,844 a 0,953. ¿Por qué agregar más variables explicativas a un modelo casi siempre aumenta (o al menos no reduce) el R², incluso si esas variables no tienen una relación económica real con Y?