F.4 Modelo multivariable

Dos variables que suben juntas, pero por más de una razón

Las ventas de hidrocarburos de YPFB y los ingresos tributarios totales del Estado no solo se mueven juntos entre sí (F.1-F.2): ambos también crecieron, en términos generales, a lo largo del tiempo, junto con el resto de la economía boliviana. Si simplemente se relaciona X (ventas) con Y (ingresos) sin tener en cuenta el paso del tiempo, la pendiente estimada (F.2: b≈1,0336) podría estar capturando, en parte, esa tendencia general compartida, no solo el efecto directo de las ventas de hidrocarburos. La regresión múltiple permite separar ambos efectos.

De una variable explicativa a varias

El modelo de regresión múltiple extiende la idea de F.2 a más de una variable explicativa (X):

ŷ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₖxₖ                     (modelo con k variables explicativas)

Con dos variables explicativas (en este caso, x₁ = ventas de hidrocarburos y x₂ = una tendencia temporal, los años transcurridos desde 1990), el modelo es ŷ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂. Cada coeficiente βᵢ mide el efecto de esa variable manteniendo constantes las demás: β₁ ahora captura el efecto de las ventas de hidrocarburos sobre los ingresos tributarios, aislado del efecto de la simple tendencia temporal compartida por ambas series.

Las ecuaciones normales, en forma matricial

El principio de mínimos cuadrados (F.2) se extiende de la misma forma: minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, ahora respecto a todos los coeficientes β₀, β₁, ..., βₖ a la vez. El resultado son las ecuaciones normales, que en notación matricial se escriben de forma compacta:

β = (X'X)⁻¹ X'y                                      (solución de mínimos cuadrados, forma matricial)

donde X es la matriz de datos (una columna de unos para el intercepto, más una columna por cada variable explicativa), y β el vector de coeficientes a estimar. Con dos variables explicativas (x₁=ventas de hidrocarburos, x₂=años desde 1990), la ecuación matricial equivale a tres ecuaciones normales simultáneas, la misma lógica de F.2 y de F.3 (modelo parabólico), extendida a tres incógnitas:

n·β₀ + (Σx₁)·β₁ + (Σx₂)·β₂ = Σy
(Σx₁)·β₀ + (Σx₁²)·β₁ + (Σx₁x₂)·β₂ = Σx₁y
(Σx₂)·β₀ + (Σx₁x₂)·β₁ + (Σx₂²)·β₂ = Σx₂y

Con las 35 observaciones (1990-2024), las sumas necesarias son:

n=35        Σx₁=638.177,9        Σx₂=595            Σy=801.473,2
Σx₁²=21.087.878.163,6            Σx₁x₂=15.773.205,6            Σx₂²=13.685
Σx₁y=24.383.039.249,1            Σx₂y=19.856.534,5

Sustituyendo en las tres ecuaciones normales:

35β₀ + 638.177,9β₁ + 595β₂ = 801.473,2
638.177,9β₀ + 21.087.878.163,6β₁ + 15.773.205,6β₂ = 24.383.039.249,1
595β₀ + 15.773.205,6β₁ + 13.685β₂ = 19.856.534,5

Resolviendo este sistema de 3×3 por el mismo método de eliminación de Gauss-Jordan ya usado en Álgebra Aplicada (y en F.3 para el modelo parabólico), la solución es β₀=-4.472,50, β₁=0,4414, β₂=1.136,63: los mismos coeficientes presentados a continuación.

El resultado con datos reales: separando ambos efectos

Resolviendo el sistema con las 35 observaciones (1990-2024) de ventas de hidrocarburos (x₁) y años transcurridos desde 1990 (x₂, tendencia), el modelo ajustado es:

ŷ = -4.472,50 + 0,4414·x₁ + 1.136,63·x₂

con R² ≈ 0,9526 (más alto que el R²≈0,8441 del modelo simple de F.2). El resultado más revelador es el coeficiente de x₁: bajó de 1,0336 (modelo simple, F.2) a 0,4414 (modelo múltiple) al controlar por la tendencia temporal. Esto significa que buena parte de la relación aparente entre ventas de hidrocarburos e ingresos tributarios que mostraba el modelo simple en realidad reflejaba la tendencia general de crecimiento de la economía a lo largo del tiempo, no solo el efecto directo de las ventas de hidrocarburos. Aislado ese efecto compartido, el impacto genuino de las ventas de hidrocarburos sobre la recaudación tributaria (0,44 millones de Bs por cada millón adicional en ventas) es menos de la mitad de lo que sugería el modelo simple. Esta es la razón central por la que la regresión múltiple es indispensable en análisis económico: casi ninguna variable económica se mueve sola, y no controlar por otras variables relevantes puede llevar a sobreestimar (o subestimar) el efecto que realmente interesa medir.

Preguntas para pensar

• Retomando la pregunta guía de F.2: ¿qué otra variable económica boliviana, además de la tendencia temporal, te parece que también debería incluirse en un modelo más completo de los ingresos tributarios totales?
• ¿Por qué crees que muchos estudios económicos que solo reportan un modelo de regresión simple (una sola variable explicativa) pueden estar sobreestimando o subestimando el efecto que realmente les interesa medir?