F.3 Regresión no lineal: parabólica, exponencial y potencial

Cuando una recta no alcanza

La deuda interna total de Bolivia pasó de USD 788,5 millones en 1993 a USD 3.042,8 millones en 2006 (Ministerio de Economía y Finanzas Públicas). Si esa deuda hubiera crecido a un ritmo lineal constante (la misma cantidad de dólares cada año), el crecimiento anual habría sido siempre el mismo. Pero mirando la serie año por año, el crecimiento se acelera: los primeros años suman relativamente poco, y los últimos suman mucho más. Ese patrón, una tasa de crecimiento que es un PORCENTAJE constante, no una cantidad constante, es la firma característica de un modelo exponencial, no lineal.

Modelo exponencial: crecimiento a una tasa porcentual constante

El modelo exponencial propone que Y = a·e^(bx), donde el crecimiento de Y no es una cantidad fija por unidad de x, sino una tasa porcentual constante (aproximadamente b×100% por unidad de x, para valores de b pequeños). Para ajustarlo por mínimos cuadrados, se linealiza aplicando logaritmo natural a ambos lados:

Y = a·e^(bx)
ln(Y) = ln(a) + bx                                   (tomando logaritmo natural a ambos lados)

Esto convierte el problema en una regresión lineal simple (F.2), pero entre x y ln(Y) en vez de entre x e Y directamente. Con los datos de la deuda interna boliviana (x = años desde 1993, Y = deuda interna en millones de USD, n=14 observaciones 1993-2006), el ajuste por mínimos cuadrados sobre (x, ln Y) sigue exactamente los mismos pasos de F.2, ahora con ln(Y) en el lugar de Y:

x̄ = 6,5                ln(Y)̄ = 7,344923                (medias de x y de ln(Y))
Σ(xᵢ-x̄)(ln Yᵢ-ln(Y)̄) ≈ 26,07134                        (suma de productos cruzados de las desviaciones)
Σ(xᵢ-x̄)² = 227,5                                       (suma de cuadrados de las desviaciones de x)

b = 26,07134 / 227,5 ≈ 0,114599                        (pendiente de la recta ajustada, en la escala de ln Y)
ln(a) = ln(Y)̄ - b·x̄ = 7,344923 - 0,114599×6,5 ≈ 6,600027   (intercepto, todavía en escala logarítmica)
a = e^(6,600027) ≈ 735,12                               (deshaciendo el logaritmo: la escala original)

El modelo resultante, Deuda(t) ≈ 735,12 · e^(0,1146·t) (con t = años desde 1993), tiene un coeficiente de determinación R² ≈ 0,977, un ajuste muy fuerte: la deuda interna boliviana de este período creció, en efecto, a una tasa aproximada del 11,46% anual compuesto, no a un ritmo lineal.

Modelo potencial: elasticidad constante

El modelo potencial propone que Y = a·x^b, y se linealiza tomando logaritmo a ambos lados de una forma distinta:

Y = a·xᵇ
ln(Y) = ln(a) + b·ln(x)                              (logaritmo de ambos lados; nótese: log de x, no x directamente)

A diferencia del exponencial (que linealiza x contra ln Y), el potencial linealiza ln(x) contra ln(Y). El exponente b tiene una interpretación económica directa como elasticidad constante: un cambio porcentual del 1% en x se asocia, aproximadamente, con un cambio porcentual de b% en Y, el mismo concepto de elasticidad usado en microeconomía (precio-demanda, por ejemplo), aquí obtenido directamente como el parámetro ajustado de un modelo potencial.

Ejemplo ilustrativo (una función de producción simplificada, con un único factor): con 8 observaciones de producción Q según trabajadores L, se aplica el mismo procedimiento de F.2, ahora sobre (ln L, ln Q):

ln(L)̄ = 1,3256              ln(Q)̄ = 2,9653                (medias de los datos ya transformados a logaritmo)
Σ(ln Lᵢ-ln(L)̄)(ln Qᵢ-ln(Q)̄) ≈ 1,7316                       (suma de productos cruzados)
Σ(ln Lᵢ-ln(L)̄)² ≈ 3,4633                                  (suma de cuadrados de las desviaciones de ln L)

b = 1,7316 / 3,4633 = 0,5                                  (pendiente, recuperada exacta, por construcción del ejemplo)
ln(a) = ln(Q)̄ - b·ln(L)̄ = 2,9653 - 0,5×1,3256 ≈ 2,3025
a = e^(2,3025) ≈ 10,00

El ajuste recupera Q ≈ 10·L^0,5, describiendo una tecnología con rendimientos marginales decrecientes (cada trabajador adicional aporta menos que el anterior, porque el exponente, 0,5, es menor que 1).

Modelo parabólico o cuadrático: cuando la relación cambia de dirección

El modelo parabólico (o cuadrático) propone Y = a + bx + cx², y se usa cuando la nube de puntos (F.1) sugiere una relación que sube y después baja (o viceversa), algo que ningún modelo lineal, exponencial o potencial puede capturar, porque los tres son monótonos (siempre crecientes o siempre decrecientes). A diferencia de los dos modelos anteriores, el parabólico no se resuelve linealizando: se ajustan directamente los tres parámetros (a, b, c) resolviendo un sistema de tres ecuaciones normales, obtenidas de la misma forma que en F.2 (derivando la suma de cuadrados de los residuos, ahora respecto a las tres incógnitas a, b, c a la vez, e igualando a cero):

n·a + (Σx)·b + (Σx²)·c = Σy
(Σx)·a + (Σx²)·b + (Σx³)·c = Σxy
(Σx²)·a + (Σx³)·b + (Σx⁴)·c = Σx²y

Ejemplo ilustrativo clásico de esta forma: el rendimiento agrícola según la cantidad de fertilizante aplicado por hectárea (7 observaciones: x=0,10,20,...,60 kg/ha). Calculando las sumas necesarias:

n=7    Σx=210    Σx²=9.100    Σx³=441.000    Σx⁴=22.750.000
Σy=210    Σxy=6.300    Σx²y=256.200

Sustituyendo en las tres ecuaciones normales:

7a + 210b + 9.100c = 210
210a + 9.100b + 441.000c = 6.300
9.100a + 441.000b + 22.750.000c = 256.200

Resolviendo este sistema de 3×3 por eliminación (el mismo método de Gauss-Jordan ya usado en Álgebra Aplicada), la solución exacta es a=20, b=1,2, c=-0,02. Muy poco fertilizante da un rendimiento bajo; una cantidad óptima maximiza el rendimiento; y una cantidad excesiva termina dañando el suelo y reduciendo el rendimiento otra vez: la forma de parábola invertida (c<0) describe exactamente ese patrón agronómico bien documentado, aunque los números de este ejemplo sean ilustrativos.

Preguntas para pensar

• Si la deuda interna boliviana siguiera creciendo exactamente al mismo ritmo exponencial (11,46% anual) de forma indefinida, ¿qué problema evidente tendría esa proyección a muy largo plazo?
• ¿Se te ocurre otra variable económica boliviana que probablemente siga un patrón parabólico (sube y luego baja) en función de alguna otra variable?