F.2 Principio de mínimos cuadrados y modelo de la recta

Infinitas rectas posibles, una sola óptima

Por la nube de puntos de F.1 se podrían trazar infinitas rectas distintas, cada una pasando más o menos cerca de los puntos. Para elegir una en particular como "la" recta que mejor resume la relación entre ventas de hidrocarburos e ingresos tributarios, hace falta un criterio preciso de qué significa que una recta "ajuste bien" a una nube de puntos, no una impresión visual, sino una definición matemática que cualquiera pueda aplicar y obtener siempre el mismo resultado.

El modelo de la recta y el error de cada punto

El modelo de regresión lineal simple propone que la variable Y puede aproximarse como una función lineal de X: ŷ = a + bx, donde ŷ ("y estimada") es el valor que el modelo predice para cada x, a es el intercepto (el valor de ŷ cuando x=0) y b es la pendiente (cuánto cambia ŷ por cada unidad que aumenta x). Para cada observación real (xᵢ, yᵢ), el modelo comete un error o residuo: eᵢ = yᵢ - ŷᵢ = yᵢ - (a + bxᵢ), la distancia vertical entre el punto real y la recta.

El principio de mínimos cuadrados

El principio de mínimos cuadrados elige los valores de a y b que minimizan la suma de los cuadrados de todos los residuos:

SC = Σeᵢ² = Σ(yᵢ - a - bxᵢ)²                          (suma de cuadrados de los residuos, a minimizar)

Se usan cuadrados (no valores absolutos) por la misma razón ya vista con la varianza (E.1): evita que residuos positivos y negativos se cancelen entre sí, y además hace que la función a minimizar sea derivable, lo que permite encontrar el mínimo con herramientas de cálculo. Derivando SC respecto a a y respecto a b, e igualando ambas derivadas a cero (la condición de un mínimo), se obtienen las ecuaciones normales, cuya solución da las fórmulas cerradas:

b = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)²                    (pendiente óptima)
a = ȳ - b·x̄                                          (intercepto óptimo, una vez conocida b)

La fórmula de b es, de hecho, la covarianza de X e Y dividida entre la varianza de X: un resultado que conecta directamente el ajuste de la recta con los conceptos de dispersión ya vistos en la Sección E, y que se retoma con más detalle en F.5.

Calculando la recta con los datos reales de F.1

Con las 35 observaciones de ventas de hidrocarburos (x) e ingresos tributarios (y) de F.1:

x̄ = 18.233,65        ȳ = 22.899,23                    (medias de ambas variables, en millones de Bs)
Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ) ≈ 9.769.254.001                          (suma de productos cruzados de las desviaciones)
Σ(xᵢ-x̄)² ≈ 9.451.562.962                               (suma de cuadrados de las desviaciones de x)

b = 9.769.254.001 / 9.451.562.962 ≈ 1,0336              (pendiente)
a = 22.899,23 - 1,0336 × 18.233,65 ≈ 4.052,70            (intercepto)

El modelo ajustado es ŷ = 4.052,70 + 1,0336x. La interpretación económica de la pendiente: por cada millón de bolivianos adicional en ventas de hidrocarburos de YPFB, los ingresos tributarios totales del Estado aumentan, en promedio, aproximadamente 1,03 millones de bolivianos, una relación casi de uno a uno, coherente con el peso que los hidrocarburos tienen en la recaudación fiscal boliviana.

Preguntas para pensar

• Si el intercepto (a=4.052,70) representara el ingreso tributario esperado cuando las ventas de hidrocarburos son cero, ¿te parece una interpretación económica razonable? ¿Por qué el intercepto de un modelo de regresión no siempre tiene una interpretación económica sensata, sobre todo cuando x=0 está lejos del rango de datos observado?
• ¿Qué otras variables económicas bolivianas crees que también podrían explicar los ingresos tributarios totales, además de las ventas de hidrocarburos? (esta pregunta se retoma en F.4, regresión múltiple)