E.4 Medidas de apuntamiento (curtosis)

Una propiedad que ni la media, ni la dispersión, ni la asimetría capturan

Hasta ahora, esta sección construyó medidas para el centro de una distribución (Sección D), su dispersión (E.1-E.2) y su asimetría (E.3). Queda una última propiedad de la forma de una distribución: qué tan puntiaguda o aplanada es en su zona central, comparada con una distribución de referencia. Dos distribuciones podrían tener exactamente la misma media, desviación estándar y asimetría, y aun así una concentrar mucho más sus datos cerca del centro (con colas más pesadas) que la otra.

Curtosis: comparando la forma contra la distribución normal

La curtosis (o apuntamiento) mide qué tan puntiaguda o aplanada es una distribución, tomando como referencia la distribución normal (una curva de campana simétrica que se estudia en profundidad en materias de Estadística posteriores). El coeficiente de curtosis (g₂, en su forma de "exceso de curtosis") se calcula usando el cuarto momento respecto a la media:

g₂ = (m₄ / σ⁴) - 3                                   (exceso de curtosis)
m₄ = Σ(xᵢ - x̄)⁴ / n                                  (cuarto momento respecto a la media)

Paso 1, elevar cada desviación (xᵢ-x̄) a la cuarta potencia y sumar:
Σ(xᵢ - x̄)⁴ = (0,396-967,30)⁴ + (10,517-967,30)⁴ + ... + (3.230,131-967,30)⁴
Σ(xᵢ - x̄)⁴ ≈ 81.822.148.954.371,3

Paso 2, dividir entre n para obtener el cuarto momento:
m₄ = 81.822.148.954.371,3 / 45 ≈ 1.818.269.976.763,8

Paso 3, dividir entre σ⁴ (σ=894,11, ya calculada en E.1):
σ⁴ = 894,11⁴ ≈ 639.090.025.792,6
m₄ / σ⁴ = 1.818.269.976.763,8 / 639.090.025.792,6 ≈ 2,845

Paso 4, restar 3 (el valor de referencia de la distribución normal):
g₂ = 2,845 - 3 ≈ -0,155

El "-3" del último paso existe porque la distribución normal, usada como referencia, tiene un valor de m₄/σ⁴ igual a exactamente 3: restando 3, la distribución normal queda con exceso de curtosis igual a cero, y cualquier desviación de ese cero mide qué tan distinta es la forma de una distribución respecto a esa referencia.

Los tres casos: platicúrtica, mesocúrtica, leptocúrtica

Según el signo del exceso de curtosis (g₂), una distribución se clasifica en:

- Mesocúrtica (g₂ ≈ 0): tiene una forma similar a la distribución normal en cuanto a su apuntamiento (ni más puntiaguda, ni más aplanada que la referencia).
- Leptocúrtica (g₂ > 0): más puntiaguda que la normal, con un pico más alto y colas más pesadas (más observaciones extremas de lo que la distribución normal predeciría).
- Platicúrtica (g₂ < 0): más aplanada que la normal, con los datos más repartidos de forma pareja en torno al centro, y colas más ligeras.

Con g₂ ≈ -0,155, las exportaciones bolivianas de este ejemplo son levemente platicúrticas (un valor cercano a cero, así que la forma no se aleja demasiado de la normal en este aspecto particular, a pesar de la asimetría marcada que sí se detectó en E.3). Esto ilustra un punto importante: asimetría y curtosis son propiedades independientes de la forma de una distribución; una distribución puede ser muy asimétrica y, al mismo tiempo, tener una curtosis cercana a la de la normal, como ocurre en este caso.

Una escala orientativa de uso común (convención, no regla) para calificar el apartamiento de la normal con el exceso de curtosis g₂:

|g₂|                       Lectura          Qué indica
menos de 0,5               casi normal      el apuntamiento y las colas se parecen a los de la normal
0,5 a 1                    moderado         colas algo más pesadas (g₂ > 0) o más livianas (g₂ < 0)
más de 1                   marcado          colas muy pesadas o muy livianas respecto de la normal

Por eso un g₂ cercano a −0,155 se lee como casi normal.

Preguntas para pensar

• Cierra la Sección E: repasando D.1-E.4, ¿qué imagen completa te da el conjunto de las cuatro propiedades (tendencia central, dispersión, asimetría, curtosis) sobre cómo se distribuyen las exportaciones bolivianas por producto?
• ¿Se te ocurre por qué la curtosis es una propiedad menos citada en reportes económicos habituales que la media, la desviación estándar o incluso la asimetría?