E.3 Medidas de asimetría

De 'parece asimétrica' a 'la asimetría vale exactamente esto'

Mirar un histograma y decir que "tiene una cola hacia la derecha" es una observación útil, pero cualitativa: no permite comparar con precisión qué tan asimétrica es una distribución frente a otra, ni decir si una distribución se volvió más o menos asimétrica de un año a otro. Los coeficientes de asimetría convierten esa impresión visual en un número preciso y comparable.

Coeficiente de asimetría de Pearson

El coeficiente de asimetría de Pearson aprovecha directamente la relación entre media, mediana y desviación estándar ya vista en D.3:

As = 3(x̄ - Me) / σ                                  (coeficiente de asimetría de Pearson)
As = 3 × (967,30 - 602,23) / 894,11
As = 3 × 365,07 / 894,11
As ≈ 1,225

Su lectura es directa: si As = 0, la distribución es simétrica (media y mediana coinciden); si As > 0, hay asimetría positiva (cola hacia la derecha, media por encima de la mediana, exactamente el caso de las exportaciones bolivianas); si As < 0, hay asimetría negativa (cola hacia la izquierda, media por debajo de la mediana). Un valor de 1,225 indica una asimetría positiva marcada.

Para calificar con palabras el tamaño de la asimetría, una escala orientativa de uso común (convención, no regla) para |As| es:

|As|                       Lectura        Qué indica
menos de 0,5               leve           casi simétrica
0,5 a 1                    moderada       cola apreciable hacia un lado
más de 1                   marcada        cola larga: la media se aleja mucho de la mediana

Con As = 1,225 la asimetría es marcada según esa escala.

Coeficiente de asimetría de Fisher

El coeficiente de asimetría de Fisher (también llamado momento de asimetría) usa una definición distinta, basada en el tercer momento de la distribución respecto a la media, a diferencia del coeficiente de Pearson (que solo necesita media, mediana y desviación estándar), este usa el valor exacto de cada una de las 45 observaciones, elevado al cubo:

g₁ = m₃ / σ³                                         (coeficiente de asimetría de Fisher)
m₃ = Σ(xᵢ - x̄)³ / n                                  (tercer momento respecto a la media)

Paso 1, elevar cada desviación (xᵢ-x̄) al cubo y sumar:
Σ(xᵢ - x̄)³ = (0,396-967,30)³ + (10,517-967,30)³ + ... + (3.230,131-967,30)³
Σ(xᵢ - x̄)³ ≈ 29.740.669.640,2

Paso 2, dividir entre n para obtener el tercer momento:
m₃ = 29.740.669.640,2 / 45 ≈ 660.903.769,78

Paso 3, dividir entre σ³ (σ=894,11, ya calculada en E.1):
σ³ = 894,11³ ≈ 714.778.580,54
g₁ = 660.903.769,78 / 714.778.580,54 ≈ 0,9246

El exponente impar (cubo, no cuadrado) es la razón por la que el resultado conserva el signo de la asimetría: una desviación negativa elevada al cubo sigue siendo negativa, a diferencia de lo que ocurre con la varianza (E.1), donde elevar al cuadrado siempre da un resultado positivo sin importar el signo original. Ambos coeficientes, calculados sobre los mismos datos, coinciden en el signo (positivo, asimetría a la derecha) aunque no den exactamente el mismo número (1,225 contra 0,925): son dos formas distintas, pero relacionadas, de medir la misma propiedad de la distribución.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que los coeficientes de Pearson y Fisher, calculados sobre los mismos datos, coinciden en el signo pero no en el valor numérico exacto?
• Si un economista te dice que la distribución del ingreso en un país tiene 'asimetría positiva fuerte', ¿qué te está diciendo sobre cómo se compara el ingreso de la mayoría de la población con el de los hogares de mayores ingresos?