E.1 Desviación media, desviación estándar y desviación típica

La media no dice nada sobre qué tan lejos están los datos de ella

La Sección D calculó que la media de las 45 observaciones de exportaciones bolivianas es Bs 967,30 millones. Pero esa misma media (967,30) podría corresponder a un conjunto de datos muy concentrado alrededor de ese valor, o a uno muy disperso, con algunos valores muy bajos y otros muy altos (como efectivamente ocurre en este caso, con valores desde 0,40 hasta 3.230,13). La media, por sí sola, no distingue entre esos dos escenarios. Hace falta una medida distinta: una que resuma qué tan lejos, en promedio, está cada dato de la media.

Desviación media: el promedio de las distancias absolutas a la media

La desviación media (DM) es el promedio de las distancias (en valor absoluto, sin signo) entre cada dato y la media:

DM = Σ|xᵢ - x̄| / n                                  (desviación media)
DM = (|0,396-967,30| + |10,517-967,30| + ... + |3.230,131-967,30|) / 45
DM ≈ 733,32                                          (millones de dólares)

Se usa el valor absoluto de cada desviación porque, como ya se vio en D.1, la suma de las desviaciones SIN valor absoluto siempre da exactamente cero (las que están por encima de la media cancelan a las que están por debajo): sin el valor absoluto, la 'dispersión promedio' siempre saldría cero, sin importar qué tan dispersos estén realmente los datos. La desviación media es intuitiva (un promedio de distancias, literalmente), pero se usa poco en la práctica porque el valor absoluto es matemáticamente incómodo de manipular en cálculos posteriores: la alternativa estándar es elevar al cuadrado en vez de tomar el valor absoluto.

Varianza y desviación estándar (o típica)

La varianza (σ² para una población, s² para una muestra) resuelve el mismo problema que la desviación media (evitar que las desviaciones positivas y negativas se cancelen), pero elevando al cuadrado cada desviación en vez de tomar su valor absoluto:

σ² = Σ(xᵢ - x̄)² / n                                  (varianza poblacional)
σ² = [(0,396-967,30)² + (10,517-967,30)² + ... + (3.230,131-967,30)²] / 45
σ² ≈ 799.428,39                                      (en millones de dólares al cuadrado, una unidad sin interpretación económica directa)

Como la varianza queda expresada en unidades al cuadrado (algo sin significado económico directo: ¿qué es un 'millón de dólares al cuadrado'?), se define la desviación estándar (σ) como su raíz cuadrada, devolviendo el resultado a las unidades originales de los datos:

σ = √σ² = √799.428,39 ≈ 894,11                       (millones de dólares, misma unidad que los datos originales)

La desviación típica es exactamente el mismo estadígrafo que la desviación estándar: son dos nombres distintos para la misma medida (típica es más común en textos españoles; estándar, en textos latinoamericanos), no dos cálculos diferentes. Cualquiera de los dos nombres que aparezca en un texto o examen se refiere a σ.

Por qué la desviación estándar es más grande que la desviación media

En este ejemplo, la desviación media (733,32) es menor que la desviación estándar (894,11), y esa relación no es casualidad: al elevar al cuadrado las desviaciones (en vez de tomar su valor absoluto), los valores grandes de desviación (los datos más alejados de la media, como las exportaciones gigantes de este conjunto de datos) pesan proporcionalmente mucho más en el cálculo (una desviación de 2.000 elevada al cuadrado es 4 millones, mientras que en la desviación media solo cuenta como 2.000). Por eso la desviación estándar es más sensible a valores extremos que la desviación media, la misma idea que hace a la media (D.1) más sensible a extremos que la mediana (D.2), aplicada ahora a las medidas de dispersión.

Preguntas para pensar

• Si dos conjuntos de datos tienen la misma media pero uno tiene una desviación estándar mucho mayor que el otro, ¿qué te dice eso sobre cómo se comparan visualmente sus histogramas?
• ¿Por qué crees que la desviación estándar (y no la desviación media) es la medida de dispersión que aparece con más frecuencia en reportes económicos y financieros bolivianos?