D.2 Mediana

El valor que deja la mitad de los datos a cada lado

D.1 mostró que la media de las exportaciones bolivianas (Bs 967,30 millones por observación) queda muy por encima de lo que exporta la mayoría de los productos (más de la mitad de las 45 observaciones vale menos de Bs 602 millones). La mediana es, por construcción, un valor que sí garantiza eso: la mitad de los datos queda por debajo, y la mitad por encima, sin importar qué tan extremos sean los valores en cualquiera de los dos lados.

Mediana de datos no agrupados

La mediana (Me) es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de datos ordenados de menor a mayor. Con n impar, hay una única posición central exacta; con n par, la mediana es el promedio de los dos valores centrales.

Con las 45 observaciones de exportaciones bolivianas (n impar), la posición central es:

posición:  (n+1)/2 = (45+1)/2 = 23                  (con n impar, la posición central es exacta)

Ordenando las 45 observaciones de menor a mayor, el valor que ocupa la posición 23 es 602,23 (millones de dólares): la mediana exacta. A diferencia de la media (967,30), la mediana no se ve afectada por qué tan grandes sean las observaciones por encima de ella: si la exportación más grande de gas natural fuera el doble, la mediana seguiría siendo exactamente la misma, porque su cálculo solo depende de la POSICIÓN de los datos ordenados, no de sus valores exactos.

Mediana de datos agrupados

Cuando los datos ya están agrupados en clases (C.2), la mediana se calcula localizando primero la clase mediana (aquella donde la frecuencia acumulada, Fi, alcanza o supera n/2 por primera vez) y luego interpolando dentro de esa clase:

n/2 = 45/2 = 22,5                                   (mitad de las observaciones)

Con la tabla de C.2, la clase [538,69; 1.076,97) tiene Fi=29 (ya supera 22,5), mientras que la clase anterior [0,40; 538,69) tenía Fi=18 (todavía no llega a 22,5): la clase mediana es, entonces, [538,69; 1.076,97):

Me = Li + [(n/2 - Fi₋) / fi] · A                    (fórmula de interpolación, con Fi₋=frecuencia acumulada de la clase anterior y A=amplitud de la clase)
Me = 538,69 + [(22,5 - 18) / 11] · 538,29
Me = 538,69 + (4,5/11) · 538,29
Me = 538,69 + 220,20
Me ≈ 758,89                                          (mediana agrupada)

Como con la media (D.1), la mediana agrupada (758,89) difiere de la exacta (602,23), otra consecuencia esperada de trabajar con clases anchas en vez de con los valores individuales.

Ventajas y desventajas de la mediana

Ventaja principal: es mucho más robusta ante valores extremos que la media (no le importa cuán grande o pequeño sea un valor atípico, solo su posición relativa en el orden de los datos). Por eso la mediana suele preferirse sobre la media al describir variables con distribuciones muy asimétricas, como ingresos, patrimonios o, como en este ejemplo, valores de exportación dominados por unos pocos productos gigantes.

Desventajas: no usa toda la información disponible (ignora los valores exactos, solo usa su posición ordenada); no tiene las propiedades algebraicas de la media (no sirve de base para calcular varianzas o coeficientes de correlación con la misma naturalidad); y calcularla exige primero ordenar todos los datos, un paso adicional que la media no necesita.

Preguntas para pensar

• Retomando la pregunta central de D.1: para reportarle a un inversionista 'la utilidad típica' de las 5 empresas, ¿usarías ahora la media o la mediana? Justifica tu respuesta con lo aprendido en esta subsección.
• ¿Por qué crees que los reportes sobre ingresos de los hogares bolivianos casi siempre citan la mediana además de (o en vez de) la media?