D.1 Media aritmética

Un promedio que nadie representa

Con las 45 observaciones de exportaciones bolivianas de las Secciones C.2-C.3 (INE/BCB/YPFB, 2019-2024), el valor promedio exportado por observación es de Bs 967,30 millones. Pero de esas 45 observaciones, más de la mitad valen menos de Bs 602 millones: el promedio está siendo arrastrado hacia arriba por un puñado de exportaciones gigantes (gas natural, oro), muy por encima de lo que exporta la mayoría de los productos. ¿Sigue siendo útil ese promedio, o hace falta otra medida para describir 'lo típico' de esta distribución?

La media aritmética, sin agrupar y agrupada

La media aritmética es la suma de todos los valores de un conjunto de datos, dividida entre el número de observaciones:

x̄ = Σxᵢ / n                                        (media, datos sin agrupar)
x̄ = (0,396 + 10,517 + ... + 3.230,131) / 45
x̄ = 43.528,36 / 45
x̄ ≈ 967,30                                          (media exacta, con los 45 valores individuales)

Cuando los datos ya están agrupados en clases (C.2), la media se calcula usando la marca de clase (el punto medio de cada intervalo) en lugar del dato exacto, ponderada por la frecuencia de cada clase:

x̄ = Σ(fᵢ · mᵢ) / n                                  (media, datos agrupados; mᵢ = marca de la clase i)
x̄ = [18·269,54 + 11·807,83 + 6·1.346,12 + 4·1.884,41 + 2·2.422,70 + 4·2.960,99] / 45
x̄ = 46.041,88 / 45
x̄ ≈ 1.023,15                                        (media agrupada, distinta de la exacta)

La diferencia entre 967,30 (exacta) y 1.023,15 (agrupada) no es un error: es el costo inevitable de agrupar en clases anchas (se pierde el valor exacto de cada dato dentro de su clase, y se lo reemplaza por la marca de clase). Cuanto más ancha la clase (o más asimétrica la distribución dentro de ella), mayor esa diferencia.

Propiedades de la media

La media aritmética tiene dos propiedades algebraicas que la distinguen de otras medidas de posición (D.2, D.3):

1. La suma de las desviaciones respecto a la media siempre es cero: Σ(xᵢ − x̄) = 0. Con los 45 valores exactos de este ejemplo, esa suma da, en efecto, 0 (una comprobación algebraica directa, no una coincidencia). Intuitivamente: la media es el punto de "equilibrio" de los datos, donde lo que sobra por un lado se compensa exactamente con lo que falta por el otro.
2. La media minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones: ningún otro valor c produce una suma Σ(xᵢ − c)² menor que la que se obtiene usando c = x̄. Esta propiedad es la que conecta la media aritmética con el método de mínimos cuadrados que la Sección F usa para ajustar una recta de regresión: no es una coincidencia matemática, es la misma idea aplicada a un problema distinto.

Ventajas y desventajas de la media

Ventajas: usa toda la información disponible en el conjunto de datos (cada valor entra en el cálculo, a diferencia de la mediana o la moda); es un valor único y bien definido para cualquier conjunto de datos numéricos; y tiene un desarrollo algebraico sólido que la hace la base de casi todos los cálculos estadísticos posteriores (varianza, desviación estándar, coeficientes de correlación).

Desventaja principal: es muy sensible a valores extremos. El ejemplo de esta subsección lo muestra con datos reales: unas pocas exportaciones gigantes (varios miles de millones de dólares) empujan la media muy por encima de lo que exporta la mayoría de los productos bolivianos (la mitad exporta menos de Bs 602 millones). En una distribución con valores extremos marcados (como esta, y como suele ocurrir con ingresos, patrimonios, o precios de activos), la media puede dar una imagen distorsionada de "lo típico", y conviene complementarla con la mediana (D.2).

Preguntas para pensar

• Retomando el ejemplo de las 5 empresas: si tuvieras que reportar 'la utilidad típica' de esas empresas a un inversionista, ¿usarías la media de 281, u otra medida? Justifica tu respuesta (la respuesta completa se retoma en D.2).
• ¿Se te ocurre otra variable económica boliviana, además de exportaciones e ingresos, donde esperarías que la media esté fuertemente influenciada por unos pocos valores extremos?