D.2 Existencia del equilibrio walrasiano y el núcleo de una economía de intercambio

Una pregunta de existencia, no solo de cálculo

En un solo mercado (módulo2/A.4), encontrar el equilibrio es sencillo: se igualan oferta y demanda y se despeja el precio. Pero con muchos mercados interconectados y funciones de exceso de demanda Zᵢ(p) que dependen del vector completo de precios (D.1), no es obvio que deba existir algún vector de precios p* que haga Zᵢ(p*)=0 para todos los mercados simultáneamente. ¿Cómo se puede estar seguro de que ese punto existe, antes incluso de intentar calcularlo?

La intuición detrás de la existencia (sin la prueba formal completa)

La demostración rigurosa de existencia del equilibrio walrasiano (desarrollada formalmente por Kenneth Arrow y Gérard Debreu en los años 1950) se apoya en teoremas de punto fijo (como el de Brouwer o Kakutani): resultados matemáticos que garantizan que, bajo ciertas condiciones de continuidad y comportamiento en los límites, una función (o correspondencia) tiene que tener al menos un punto donde "se cruza consigo misma" de una forma específica. La intuición económica, sin entrar en el aparato matemático completo (fuera del alcance de esta introducción), es la siguiente:

- Si las funciones de exceso de demanda Zᵢ(p) son continuas (pequeños cambios de precio generan pequeños cambios en la demanda/oferta, sin saltos bruscos), y
- si el exceso de demanda de cualquier bien se vuelve muy grande (positivo) cuando su precio se acerca a cero, y muy negativo cuando su precio se vuelve muy alto,

entonces, de forma intuitiva, tiene que haber algún punto intermedio donde el exceso de demanda "cruce" el cero, para cada mercado, y de forma compatible con todos los demás simultáneamente, gracias a la Ley de Walras (D.1), que ata a todos los mercados entre sí. Esta intuición, de continuidad más comportamiento extremo en los límites, hacia la existencia de un punto de equilibrio, es la misma idea general detrás de cualquier teorema de punto fijo, aplicada aquí al problema económico específico de vaciar todos los mercados a la vez.

El equilibrio walrasiano en una economía de intercambio puro

El caso más simple para estudiar esto es una economía de intercambio puro: no hay producción, solo consumidores con dotaciones iniciales de bienes que pueden intercambiar entre sí. Un equilibrio walrasiano en esta economía es un vector de precios p* y una asignación de bienes entre los consumidores tal que, a esos precios, cada consumidor maximiza su utilidad sujeto a su restricción presupuestaria (módulo2/B.3), y todos los mercados se vacían simultáneamente (Zᵢ(p*)=0 para todo i). Con solo dos consumidores y dos bienes, este equilibrio se visualiza clásicamente con una caja de Edgeworth: un rectángulo donde los ejes de un consumidor corren en una dirección y los del otro en la dirección opuesta, de modo que cualquier punto dentro de la caja representa una asignación completa de ambos bienes entre ambos consumidores.

El núcleo de una economía de intercambio

El núcleo (core) de una economía de intercambio es el conjunto de asignaciones que ninguna coalición de consumidores (incluida la coalición formada por un solo consumidor, o por todos ellos) puede mejorar por su cuenta, reasignando solo los recursos que esa coalición ya posee entre sus propios miembros. Una asignación en el núcleo tiene que ser, como mínimo, tan buena para cada consumidor como su dotación inicial (de lo contrario, ese consumidor solo, como coalición de uno, la bloquearía negándose a intercambiar), y tiene que ser eficiente en el sentido de Pareto (E.1): de lo contrario, la coalición formada por todos los consumidores podría bloquearla, reasignando los recursos totales de una forma que mejore a todos a la vez.

Un resultado clásico es que todo equilibrio walrasiano está en el núcleo: ningún grupo de consumidores puede mejorar por su cuenta lo que ya consigue a través de los precios de mercado, de lo contrario, ese grupo ya lo habría hecho, en vez de participar en el mercado general. Además, a medida que el tamaño de la economía crece (más consumidores, en la misma proporción de tipos), el núcleo se va encogiendo, acercándose cada vez más al conjunto de equilibrios walrasianos, un resultado que ayuda a explicar por qué los mercados grandes y competitivos (Sección A) tienden a producir resultados parecidos a los del equilibrio walrasiano, mientras que en economías chicas (pocos participantes, más parecidas a los mercados no competitivos de la Sección B) el núcleo puede ser mucho más amplio, dejando lugar a resultados muy distintos del walrasiano.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que el resultado de que 'el núcleo se encoge cuando la economía crece' ayuda a justificar, desde una perspectiva distinta a la de la Sección A, por qué los mercados con muchos participantes tienden a producir resultados eficientes?
• Con lo visto en D.1 y D.2, ¿qué supuestos del modelo de equilibrio general te parecen más fuertes o menos realistas para describir una economía real como la boliviana?