C.2 El equilibrio de Cournot-Nash, derivado paso a paso

Cada empresa, adivinando a la otra

Dos empresas comparten un mercado (un duopolio, B.2) y compiten eligiendo cuánto producir, no qué precio cobrar: el precio de mercado surge de la cantidad total que ambas producen juntas. Cada empresa quiere maximizar su propio beneficio, pero su beneficio depende de cuánto produzca la otra, algo que no controla. ¿Cómo se resuelve un problema donde la decisión óptima de cada uno depende de la decisión del otro?

Planteando el problema de la Empresa 1

Con una demanda de mercado P(Q)=a−bQ (Q=q₁+q₂, la suma de ambas producciones) y un costo marginal constante c para ambas empresas, el beneficio de la Empresa 1 depende de su propia cantidad q₁ y de la cantidad q₂ que decida la Empresa 2:

π₁(q₁, q₂) = P(Q)·q₁ - c·q₁ = [a - b(q₁+q₂)]·q₁ - c·q₁     (beneficio de la Empresa 1)

La Empresa 1 maximiza π₁ tomando q₂ como un dato fijo (no lo controla) y derivando respecto a su propia variable, q₁:

dπ₁/dq₁ = a - 2bq₁ - bq₂ - c = 0                          (condición de primer orden, derivando respecto a q₁)
2bq₁ = a - c - bq₂                                        (despejando el término con q₁)
q₁ = (a-c)/(2b) - q₂/2                                    (función de reacción de la Empresa 1: su q₁ óptima, dado cualquier q₂)

Esta es la función de reacción de la Empresa 1: dice cuál es su cantidad óptima para cada valor posible de q₂: no un solo número, sino una regla de respuesta. Por simetría (mismo costo marginal, misma demanda), la función de reacción de la Empresa 2 es idéntica con los roles invertidos: q₂=(a−c)/(2b)−q₁/2.

El equilibrio: donde ambas reacciones son mutuamente consistentes

El equilibrio de Cournot-Nash es el par (q₁*, q₂*) donde cada función de reacción se satisface simultáneamente: cada empresa está haciendo exactamente lo que la función de reacción de la otra predice. Con a=100, b=1, c=10:

q₁ = 45 - q₂/2                                            (función de reacción de la Empresa 1, con (a-c)/(2b)=45)
q₂ = 45 - q₁/2                                            (función de reacción de la Empresa 2)
q₁ = 45 - (45 - q₁/2)/2                                   (sustituyendo la reacción de la Empresa 2 dentro de la de la Empresa 1)
q₁ = 45 - 22,5 + q₁/4                                     (distribuyendo)
q₁ - q₁/4 = 22,5                                          (agrupando los términos con q₁)
(3/4)q₁ = 22,5                                            (simplificando el coeficiente)
q₁* = 30                                                  (despejando q₁*)

Por simetría, q₂*=30 también. Con Q*=q₁*+q₂*=60, el precio de equilibrio es P*=100−60=40, y el beneficio de cada empresa es (P*−c)×q₁*=(40−10)×30=900.

Cournot frente a monopolio y competencia perfecta

Vale la pena comparar los tres resultados con la misma demanda P(Q)=100−Q y costo marginal c=10 (el caso original de esta subsección): en monopolio (B.1, una sola empresa que internaliza todo el mercado), Q_mono=(100−10)/2=45, P_mono=55. En Cournot-Nash (dos empresas, este caso), Q=60, P=40. En competencia perfecta (Sección A, P=CMg), Q_comp=100−10=90, P_comp=10. La cantidad total de mercado crece, y el precio baja, acercándose al competitivo, a medida que hay más empresas compitiendo en cantidades: Cournot-Nash con dos empresas queda, en ambos sentidos, exactamente entre el monopolio y la competencia perfecta, ni tan restrictivo como uno ni tan eficiente como la otra.

Preguntas para pensar

• Si tres o más empresas de las descritas en B.2 (industria cementera boliviana) compitieran a la Cournot en vez de en precios, ¿qué esperarías que le pase al precio de equilibrio a medida que aumenta el número de competidores?
• ¿Qué supuesto del modelo de Cournot, competir en cantidades, no en precios, te parece más realista para la industria cementera, y cuál menos? ¿Por qué?