D.2 El modelo de crecimiento de Solow

Acumular capital para siempre, ¿es posible?

Una economía ahorra una fracción constante s de su producción cada año, y usa ese ahorro para invertir en más capital. A primera vista, parecería que mientras siga ahorrando la misma fracción, el capital por trabajador debería seguir creciendo indefinidamente. Pero el capital, igual que el trabajo (C.1), tiene rendimientos marginales decrecientes: cada unidad adicional de capital por trabajador aporta menos producción (y por lo tanto menos ahorro nuevo) que la anterior. ¿Hacia dónde converge esto en el largo plazo?

La ecuación fundamental del modelo de Solow

En términos per cápita (por trabajador), sea k = K/L el capital por trabajador, y f(k) la función de producción per cápita (con rendimientos decrecientes en k, igual que en C.1). Cada período, el capital por trabajador cambia según dos fuerzas opuestas: la inversión efectiva por trabajador, s·f(k) (la fracción s de la producción que se ahorra e invierte), y la inversión de reposición, (δ+n)·k (lo que hace falta invertir solo para mantener el capital por trabajador constante, dado que el capital existente se deprecia a tasa δ y la población crece a tasa n, diluyendo el capital entre más trabajadores):

k_(t+1) − k_t = s·f(k_t) − (δ+n)·k_t

Mientras la inversión efectiva supere a la inversión de reposición, k crece; cuando la inversión de reposición supera a la efectiva, k decrece.

Derivando el estado estacionario

El estado estacionario k* es el nivel de capital por trabajador donde ambas fuerzas se igualan exactamente: k deja de cambiar. Con f(k)=k^α (Cobb-Douglas per cápita), se puede despejar k* en forma cerrada:

0 = s·f(k*) - (δ+n)·k*                         (en estado estacionario, k_(t+1)=k_t=k*, así que el cambio es cero)
s·(k*)^α = (δ+n)·k*                            (sustituyendo f(k*)=(k*)^α)
s = (δ+n)·(k*)^(1-α)                           (dividiendo ambos lados entre (k*)^α: k*/(k*)^α = (k*)^(1-α))
(k*)^(1-α) = s/(δ+n)                           (despejando (k*)^(1-α))
k* = [s/(δ+n)]^(1/(1-α))                       (elevando ambos lados a 1/(1-α): fórmula cerrada del estado estacionario)

A diferencia de la iteración de C.2 o de una recurrencia genérica, este modelo tiene una fórmula exacta para su punto de convergencia: no hace falta iterar infinitamente para saber a dónde converge, solo para ver cómo converge.

Leyendo la convergencia

Con k₀=1 (muy por debajo de k*≈4,79), la inversión efectiva s·f(k) supera a la inversión de reposición (δ+n)·k en cada período mostrado: el capital por trabajador crece, acercándose a k* pero cada vez más lento, porque a medida que k crece, f(k) crece cada vez menos (rendimientos decrecientes) y (δ+n)·k crece proporcionalmente. Si la economía hubiera partido de un k₀ mayor que k*, el patrón se invertiría: la inversión de reposición superaría a la efectiva, y k decrecería hasta converger a k* desde arriba. En ambos casos, el resultado de largo plazo es el mismo estado estacionario: el punto de partida no determina a dónde converge la economía, solo cuánto tiempo tarda en llegar.

Un límite honesto: aplicar la α real de Bolivia a este modelo

En C.1 y D.1 se citó el α≈0,138 estimado para Bolivia por Feraudi Gonzales y Ayaviri Nina (2018). Si se lo sustituyera, solo hipotéticamente, en la fórmula de k* con los mismos s, δ y n del ejemplo de arriba, el estado estacionario bajaría de k*≈4,79 (con α=0,33) a k*≈3,38: con una participación del capital más baja, cada unidad adicional invertida rinde menos producción adicional, y el estado estacionario de capital por trabajador que el ahorro puede sostener es menor.

Pero esta sustitución tiene un problema real, no solo un matiz técnico: la fórmula cerrada k*=[s/(δ+n)]^(1/(1-α)) se derivó (D.1) asumiendo rendimientos constantes a escala (α+β=1, con β=1−α). El estudio real de Feraudi y Ayaviri encontró α+β≈1,22, rendimientos crecientes, para la economía boliviana, un supuesto distinto al que sostiene toda la derivación del modelo de Solow tal como se presentó en esta subsección. Aplicar directamente su α al modelo de Solow estándar, sin ajustar el modelo para permitir rendimientos crecientes, sería usar un número real dentro de una fórmula que ya no aplica exactamente: un ejemplo concreto de por qué, al llevar un modelo teórico a datos reales, hay que revisar primero si los supuestos del modelo se sostienen, no solo sustituir el parámetro y aceptar el resultado sin más.

Preguntas para pensar

• Si dos países tienen exactamente los mismos parámetros (s, δ, n, α) pero empiezan con niveles de capital por trabajador muy distintos, ¿qué predice el modelo de Solow sobre si sus niveles de ingreso per cápita convergerán con el tiempo?
• ¿Qué política económica, según este modelo, podría usar un país para elevar su nivel de capital por trabajador en el estado estacionario? ¿Qué límites tiene esa política, según la fórmula de k*?