D.1 Las fuentes del crecimiento: el esquema contable de Solow

Crecer más: ¿con qué, exactamente?

Dos países pueden crecer a la misma tasa por razones completamente distintas: uno acumulando más máquinas y fábricas, otro empleando más trabajadores, un tercero simplemente volviéndose más eficiente con los mismos recursos que ya tenía. Confundir estas tres fuentes lleva a políticas de crecimiento equivocadas: no es lo mismo necesitar más inversión que necesitar mejor tecnología o mejor organización productiva. ¿Cómo se separa una fuente de otra?

De la función de producción a la descomposición del crecimiento

Partiendo de una función de producción agregada Cobb-Douglas Y = A·K^α·L^(1−α), donde A representa la productividad total de los factores (PTF): todo lo que hace más eficiente la combinación de capital y trabajo sin ser, en sí mismo, ni capital ni trabajo (tecnología, organización, capital humano no capturado explícitamente), se puede derivar cómo se reparte el crecimiento del producto entre sus tres fuentes, tomando logaritmos y diferenciando respecto al tiempo:

Y = A · K^α · L^(1-α)                                    (función de producción Cobb-Douglas agregada)
ln(Y) = ln(A) + α·ln(K) + (1-α)·ln(L)                     (aplicando logaritmo natural a ambos lados: convierte productos en sumas)
d[ln(Y)]/dt = d[ln(A)]/dt + α·d[ln(K)]/dt + (1-α)·d[ln(L)]/dt   (derivando respecto al tiempo, término a término)
(1/Y)(dY/dt) = (1/A)(dA/dt) + α·(1/K)(dK/dt) + (1-α)·(1/L)(dL/dt)   (la derivada de ln(x) respecto al tiempo es exactamente la tasa de crecimiento de x)
%ΔY = %ΔA + α·%ΔK + (1-α)·%ΔL                             (cada término (1/x)(dx/dt) es, por definición, la tasa de crecimiento porcentual de esa variable)

Esta última ecuación es el esquema contable de Solow (growth accounting): la tasa de crecimiento del producto se descompone exactamente en la tasa de crecimiento de la productividad total de los factores, más la contribución del crecimiento del capital (ponderada por α, la participación del capital en el ingreso), más la contribución del crecimiento del trabajo (ponderada por 1−α).

El residuo de Solow: lo que no explican ni el capital ni el trabajo

En la práctica, %ΔK y %ΔL se pueden medir directamente (cuánto creció el stock de capital, cuánto creció el empleo), y α se estima a partir de la participación del capital en el ingreso nacional. Eso permite despejar %ΔA (la contribución de la productividad) como un residuo: lo que queda del crecimiento observado después de descontar lo que explican capital y trabajo:

%ΔA = %ΔY − α·%ΔK − (1−α)·%ΔL

A este residuo se lo conoce como el residuo de Solow, y es, históricamente, uno de los hallazgos más influyentes de la teoría del crecimiento: en muchas economías, una parte sustancial del crecimiento de largo plazo no se explica por acumular más capital ni más trabajo, sino por este residuo: mejoras tecnológicas y de eficiencia que la contabilidad del crecimiento no puede desagregar más, solo medir como lo que sobra.

Conectando con la α real de Bolivia

En C.1 se citó el estudio de Feraudi Gonzales y Ayaviri Nina (2018), que estimó α≈0,138 para la economía boliviana entre 1985 y 2015 (un valor bajo, que los autores atribuyen a una economía concentrada en el sector primario, con poca industrialización). Ese mismo α es, en principio, el que habría que usar para hacer un ejercicio de contabilidad del crecimiento real de Bolivia: con una participación del capital tan baja, la fórmula %ΔA=%ΔY−α·%ΔK−(1−α)·%ΔL le asigna más peso al crecimiento del empleo (%ΔL) y menos al del capital (%ΔK) de lo que asignaría el α=0,35 usado en el ejercicio ilustrativo de arriba, una diferencia con consecuencias reales para cómo se interpreta qué impulsa el crecimiento boliviano.

Preguntas para pensar

• Si tuvieras que estimar el residuo de Solow para la economía boliviana, ¿qué datos necesitarías conseguir, y qué dificultades prácticas anticipas para medir cada uno?
• ¿Por qué crees que el residuo de Solow se volvió tan influyente en la discusión sobre por qué unos países crecen sostenidamente más que otros a largo plazo?