Herramientas matemáticas introductorias

Una caja de herramientas, no una lista de temas sueltos

Cada herramienta matemática de esta subsección ya apareció, de forma implícita, en un tema anterior de este módulo, o va a aparecer pronto. La lógica te va a ayudar a evaluar si "el precio del gas causa la inversión pública" (A.5) es un argumento válido o una correlación disfrazada. Los conjuntos ya estaban detrás de la distinción entre trabajo formal e informal (A.1). Las desigualdades son la forma exacta de escribir el costo de oportunidad (A.2, A.3). Las funciones son el lenguaje del equilibrio de mercado que vas a estudiar en B.1. Y los límites y las derivadas son la base del análisis de costos e ingresos marginales que vas a necesitar en C.3 y C.4.

No son siete temas aislados: son una sola caja de herramientas que vas a seguir abriendo durante el resto de la carrera.

×145,5

creció la inversión pública en Hidrocarburos entre 2005 y 2013 — el mismo dato que vas a usar varias veces en esta subsección.

Fuente: UDAPE, Dossier de Estadísticas Sociales y Económicas, Cuadro 3.7.1 (Inversión Pública por Sectores)

1 · Lógica simbólica: evaluar argumentos, no solo datos

Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso, nunca ambas cosas. Los conectivos lógicos (y, o, si...entonces, no) combinan proposiciones simples en compuestas, con reglas fijas para su valor de verdad, no con intuición.

Esto te va a servir pronto: en A.5 vas a analizar si la caída del precio del gas realmente causa cambios en la inversión pública, o si solo están correlacionados en el tiempo. Un argumento del tipo "si cae el precio del gas, entonces cae la inversión" es un condicional lógico, y saber evaluar condicionales con precisión es el primer paso para no confundir correlación con causalidad.

2 · Teoría de conjuntos: la lógica detrás de "formal" e "informal"

Un conjunto es una colección bien definida de elementos. Cuando en A.1 dijimos que "8 de cada 10 trabajadores están en el empleo informal", ya estábamos usando teoría de conjuntos sin nombrarla: existe un conjunto Universo de todos los trabajadores, un conjunto F (formal) y un conjunto I (informal), donde F ∩ I = ∅ (nadie es ambas cosas a la vez, según esta clasificación) y F ∪ I = el universo completo.

Probemos las operaciones con otro conjunto real que ya conoces, el de los productos de exportación de A.3 y A.5: H = {gas natural, petróleo, GLP} (Hidrocarburos) y N = {soya, quinua, aceite de soya} (No Tradicionales), según la clasificación oficial del INE.

3 · Desigualdades: la forma exacta del costo de oportunidad

Una inecuación es una desigualdad con una variable que hay que resolver. Ya usaste esta herramienta sin llamarla así: en A.2 y A.3, cuando el presupuesto de Hidrocarburos y Sociales sumaba un total fijo, esa restricción (H + S = total, con H≥0 y S≥0) es una inecuación aplicada. Y la vas a volver a usar en C.3, cuando una empresa no pueda gastar más de lo que su presupuesto de producción permite.

Probemos con una variante: supongamos una regla fiscal hipotética donde Hidrocarburos no puede superar el 40% del presupuesto combinado de 2013.

4 · Funciones: el lenguaje del equilibrio de mercado

Una función asigna a cada valor de entrada exactamente un valor de salida. Ya usaste un sistema de ecuaciones en A.2/A.3 para repartir un presupuesto fijo entre dos partidas. Ahora vas a ver la aplicación más importante de las funciones lineales en economía: el modelo de oferta y demanda que vas a estudiar con datos reales del mercado de la papa en B.1.

Este ejemplo es ilustrativo, con números hipotéticos (todavía no tenemos una curva de demanda estimada con datos reales de Bolivia), pero el método de resolución es exactamente el que usarás en B.1 cuando sí tengamos esos datos.

5 · Límites: el punto de partida del costo marginal

Un límite describe el valor al que se aproxima una función cuando su variable se acerca cada vez más a un punto, sin necesidad de llegar exactamente a él. Esto te va a servir en C.3 y C.4: el costo marginal (cuánto sube el costo total al producir una unidad más) se define formalmente como un límite, la tasa de cambio del costo cuando el incremento de producción se hace tan pequeño como se quiera.

Probemos con una función de costo hipotética (otra vez, números ilustrativos: en C.3 vas a trabajar con estructuras de costos reales de una PYME boliviana): C(q) = q² + 10q + 50, el costo total de producir q unidades. Calculemos la tasa de cambio del costo cerca de q=5, con incrementos cada vez más pequeños.

6 · Derivadas: la misma pregunta, una herramienta más rápida

La derivada de una función en un punto es exactamente el límite que acabas de calcular, pero con una regla general que evita repetir el proceso de incrementos cada vez. Para C(q) = q² + 10q + 50, la derivada es C'(q) = 2q + 10, una fórmula que en Cálculo aprenderás a demostrar, y que en C.3/C.4 usarás para encontrar el nivel de producción que maximiza la utilidad de una empresa.

7 · Matrices: organizar varios sectores y años a la vez

Una matriz ordena números en filas y columnas para operar con conjuntos completos de datos de una sola vez. Es la base del álgebra matricial de Álgebra Aplicada (2.º semestre), y la volverás a encontrar en el Módulo 2 al estudiar cuentas nacionales y modelos insumo-producto, donde cada fila y columna representa un sector de la economía.

Organicemos la inversión pública real que ya conoces en una matriz de 2×2, sectores en filas y años en columnas (millones de USD):

1990       2013
 Hidrocarburos  101,2      578,5
 Sociales        58,0     1084,3

Mapa de herramientas: dónde vas a volver a usar cada una

Lógica → A.5, para distinguir correlación de causalidad al analizar el precio del gas y la inversión pública.

Conjuntos → ya estaba en A.1 (formal/informal) y en A.5 (categorías de exportación).

Desigualdades → ya estaba en A.2/A.3 (presupuesto) y reaparece en C.3 (restricciones de producción).

Funciones y sistemas de ecuaciones → B.1, el modelo completo de oferta y demanda con datos reales.

Límites y derivadas → C.3 y C.4, análisis marginal de costos y utilidad.

Matrices → Módulo 2, cuentas nacionales y modelos insumo-producto.

Ninguna de estas herramientas es un fin en sí misma: son el lenguaje preciso con el que vas a construir el resto de tu formación como economista.

Preguntas para pensar

• Piensa en un argumento de política económica que hayas escuchado ("si se hace X, entonces pasará Y"). Escríbelo como un condicional lógico: ¿es un condicional válido o una correlación disfrazada de causalidad?
• El ejercicio del equilibrio de mercado usó números hipotéticos. ¿Qué información necesitarías conseguir para reemplazarlos por una curva de demanda real de algún producto boliviano?
• ¿Qué otras dos categorías económicas bolivianas (sectores, tipos de empleo, regiones) podrías representar como conjuntos disjuntos, siguiendo el mismo patrón de formal/informal?
• Si conocieras la tasa de variación promedio de un indicador económico, ¿qué información adicional necesitarías para saber si esa tendencia va a continuar en el futuro?